Notation tensorielle sur anneau à différence

johnsmoke · October 2021

Bonjour,
Il y a une notation que je ne comprends pas qui apparaît dans le papier de Kedlaya suivant : https://kskedlaya.org/papers/p-adic_differential_equations.pdf, définition 14.1.1 page 244 (262 réel).

Il s'agit d'une tensorisation sur un anneau à différence. Soit $R$ un anneau, $\phi$ un endomorphisme de $R$ et $M$ un $R$-module équipé d'une application $\Phi$ qui est $\phi$ semi-linéaire, c'est-à-dire telle que $\Phi(am) = \phi(a)\Phi(m)$.

Je ne comprends pas bien ce qu'est le produit tensoriel noté $M\bigotimes_{R,\psi}R$.

J'ai d'abord imaginé que cela signifie simplement l'anneau $\psi(R)$ (sous-anneau de R) car $M$ et $R$ sont bien des $\psi(R)$-modules (et que je ne vois pas ce que cela pourrait être d'autre), mais en supposant cela, ça me pose des problèmes dans la suite du papier.

Cette incompréhension sur la notation ne m'aide pas à comprendre les paragraphes qui suivent, notamment sur la dualisabilité (Définition 14.1.4) d'un tel module.

En vous remerciant

Maxtimax · October 2021

Je pense qu'il s'agit de la chose suivante : vois ton endomorphisme $\phi$ comme um morphisme $f : R\to S$ (en gros, oublie que $S=R$), et fais $M\otimes_R S$.

Donc en gros juste une extension de scalaires le long de $\phi$ (si $\phi$ est un automirphisme, c'est une manière fancy de dire "le module où $r\cdot m = \phi^{-1}(r)m$", mais c'est plus général)

(Cette construction apparait souvent lorsque $p=0$ et que $\phi$ est le Frobenius)

johnsmoke · October 2021

Merci pour la réponse.

Quand l'auteur dit que la donnée de $\psi$ et $\Psi$ définie une application $R$-linéaire de $M\bigotimes_{R,\psi}R$ vers $M$ (définie par $f(m\otimes 1) = \Psi(m)$), quelle structure de $R$-module faut il considérer pour le codomaine ?

J'ai l'impréssion qu'il faut considérer la structure de $R$-module définie par $r.m = \psi(r)m$, car alors :

$r.f(m\otimes 1) = \psi(r)\Psi(m) = \Psi(rm) = f((rm) \otimes 1) = f(r(m \otimes 1))$.

Ca semble marcher mais je ne suis pas sûr du tout pour la dernière égalité ( en fait je pense que c'est faux).

Si je munis le codomaine de la structure de $R$-module initiale, j'obtiens simplement
$rf(m\otimes 1) = r\Psi(m)$
et je ne vois pas comment continuer.

Merci

Maxtimax · October 2021

$\Psi : M\to M$ est linéaire quand le second $M$ a la structure tirée en arrière ($r\cdot m := \psi(r)m$), donc l'adjoint $R\otimes_R M\to M$ est $R$ linéaire pour l'action initiale.

Plus précisément, arrêtons d'appeler $M$ tout le monde.

$\Psi : M\to \psi^*M$ donne $\psi_! M\to \psi_!\psi^* M \to M$, les deux sont $R$-linéaires donc la composée aussi, où $\psi_!M = R\otimes_{R, \psi} M$

Calcul concret : $r\otimes m \mapsto r\otimes \Psi(m) \mapsto r\Psi(m)$, c'est $R$-linéaire pour des raisons évidentes.

johnsmoke · October 2021

Ok c'est bon j'ai compris, merci beaucoup pour cette clarification. Ce que tu dis c'est :

Si $C$ est la catégorie des $R$-modules, $F$ le foncteur de $C$ dans $C$ qui à $M$ associe $\psi^*M$ et $G$ le foncteur de $C$ dans $C$ qui à $M$ associe $R\otimes_{R,\psi} M$, alors $F$ et $G$ sont adjoints donc :

$$ Hom_{R}(M, \psi^*M) \cong Hom_{R}((M\otimes_{R,\psi} R), M) $$