Anneau monoïde
Bonsoir à tous !!
J'aimerais prouver que l'anneau monoïde est un anneau.
Je rappelle la définition : soit $(G,~.)$ un monoïde multiplicatif et $(R,~+,~×)$ un anneau commutatif unitaire. On denote par $R(G)$ l'ensemble des sommes $\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$, $\ r_{i} \in R$, où tous les $r_{i}$ sont nuls sauf un nombre fini. On définit l'addition et la multiplication sur $R(G)$ par :
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$ $\star$$\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}$=$\sum_{a_{i} \in G}(r_{i}~+s_{i})a_{i}$
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$ $\circ$ $\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}$=$\sum_{a_{i} \in G}( \sum_{a_{k}a_{l}=a_{i}}r_{k}s_{l} )a_{i}$.
Alors, $(R(G),\star,~\circ)$ est un anneau appelé l'anneau monoïde de $G$ sur $R$.
Je réussis à montrer tous les axiomes d'un anneau sauf l'associativité de la multiplication $\circ$.
D'un côté j'ai :
$(\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}~\circ \sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i})~\circ \sum_{a_{i} \in G}t_{i}a_{i}=\sum_{a_{i} \in G}(\sum_{a_{p}a_{q}=a_{i}}(
\sum_{a_{k}a_{l}=a_{p}}r_{k}s_{l})t_{q})a_{i}$
Et de l'autre j'ai :
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}~\circ (\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}~\circ \sum_{a_{i} \in G}t_{i}a_{i})
=\sum_{a_{i} \in G}(\sum_{a_{x}a_{y}=a_{i}}r_{x}(
\sum_{a_{k}a_{l}=a_{y}}s_{k}t_{l}))a_{i}$
À partir de là je suis bloqué. Je n'arrive pas à arranger ces deux termes pour obtenir l'égalité.
J'ai besoin d'un coup de pouce s'il vous plaît.
Toutes suggestions est la bienvenue.
J'aimerais prouver que l'anneau monoïde est un anneau.
Je rappelle la définition : soit $(G,~.)$ un monoïde multiplicatif et $(R,~+,~×)$ un anneau commutatif unitaire. On denote par $R(G)$ l'ensemble des sommes $\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$, $\ r_{i} \in R$, où tous les $r_{i}$ sont nuls sauf un nombre fini. On définit l'addition et la multiplication sur $R(G)$ par :
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$ $\star$$\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}$=$\sum_{a_{i} \in G}(r_{i}~+s_{i})a_{i}$
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}$ $\circ$ $\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}$=$\sum_{a_{i} \in G}( \sum_{a_{k}a_{l}=a_{i}}r_{k}s_{l} )a_{i}$.
Alors, $(R(G),\star,~\circ)$ est un anneau appelé l'anneau monoïde de $G$ sur $R$.
Je réussis à montrer tous les axiomes d'un anneau sauf l'associativité de la multiplication $\circ$.
D'un côté j'ai :
$(\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}~\circ \sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i})~\circ \sum_{a_{i} \in G}t_{i}a_{i}=\sum_{a_{i} \in G}(\sum_{a_{p}a_{q}=a_{i}}(
\sum_{a_{k}a_{l}=a_{p}}r_{k}s_{l})t_{q})a_{i}$
Et de l'autre j'ai :
$\sum_{a_{i} \in G}r_{i}a_{i}~\circ (\sum_{a_{i} \in G}s_{i}a_{i}~\circ \sum_{a_{i} \in G}t_{i}a_{i})
=\sum_{a_{i} \in G}(\sum_{a_{x}a_{y}=a_{i}}r_{x}(
\sum_{a_{k}a_{l}=a_{y}}s_{k}t_{l}))a_{i}$
À partir de là je suis bloqué. Je n'arrive pas à arranger ces deux termes pour obtenir l'égalité.
J'ai besoin d'un coup de pouce s'il vous plaît.
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Réponses
$(a_p,a_q,a_k,a_l)$ tels que $a_pa_q =a_i$ et $a_ka_l = a_p$
Et dans le second tu le vois comme l'ensemble des quadruplets $(a_x,a_y,a_k,a_l)$ tels que $a_xa_y = a_i$ et $a_ka_l = a_y$
Si tu fais cette réécriture, les deux sommes sont les mêmes devant chaque $a_i$
@Maxtimax tu as vu juste. Après réécriture, j'ai le résultat. Merci
Et avec la notation $\displaystyle \sum_{g\in G} r_g g$ ?