Morphisme de groupes

Kcg
Kcg
dans Algèbre
Bonjour à tous !
J'ai besoin de quelques idées sur cet exercice s'il vous plaît.

Montrer que $Hom((\Q,+),(\Q_{+}^{\star},×))$ est trivial. C'est-à-dire qu'il n'existe qu'un seul morphisme de $(\Q,+)$ vers $(\Q_{+}^{\star},×))$ qui est le morphisme nul $f$: $\forall a\in \Q,\ f(a)=1$.
Pour montrer cela, je sais que tout élément de $\Q$ est de la forme $\frac{n}{m},\text{ avec } n \in \Z,\ m\in \Z^\star$.
On a alors : $$f(\frac{n}{m})=f(n\frac{1}{m})=f(\frac{1}{m})^n$$ car $f$ est un morphisme. À partir de là, je ne sais plus quoi faire.
J'ai voulu alors d'abord prouver que $f(\Z)=\{1\}$ pour ensuite essayer d'appliquer ma démarche aux fractions mais je suis également coincé à l'égalité :$$f(n)=f(1)^n$$ car je ne parviens pas à montrer que $f(1)=1$.
J'ai besoin d'un coup de pouce s'il vous plaît.

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Pour tout entier naturel premier $p$ et tout rationnel non nul $r$, on peut définir la $p$-valuation $v_p(r)$, qui est un entier positif, négatif ou nul.
    Par exemple : $v_2(\frac 89)=3$, $v_3(\frac 89)=-2$, $v_5(\frac 89)=0$.
    On a : $v_p(rr')=v_p(r)+v_p(r')$.
    Il me semble que ça peut servir ici, avec $f(1)=f(\frac1n)^n$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Kcg
    Kcg
    Bonjour Chaurien et merci déjà pour ta réponse.
    J'ai omis de préciser et je m'en excuse, que c'est un exercice niveau licence et à ce niveau, on a pas encore à notre disposition la notion de valuation.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Suppose que $f(n/m)$ est non nul. Que dire alors de $f(n/2m)$ ? De $f(n/(45m))$ ? etc.
  • Kcg
    Kcg
    Je n'arrive pas à mieux écrire $f(n/2m)$ que sous la forme$f(n/2m)=f(1/2m)^n$. En supposant $f(n/m)$ non nul et ajouter à l'écriture précédente, je ne vois aucune idée en plus.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ok, que vaut $f(n/2m)^2$ alors ?
  • Kcg
    Kcg
    On a $f(n/2m)^2=f(n/m)$ ; et d'après ta première suggestion, on a aussi $f(n/m)=f(n/45m)^{45}$ donc $f(n/2m)^2=f(n/45m)^{45}$. Mais j'ai beau réfléchir je ne vois pas en quoi cette égalité m'aide sachant que $f(n/m)$ est non nul
  • Chaurien
    Chaurien
    Kcg, la « notion de valuation » que j'évoque est tout à fait élémentaire, elle provient seulement de la décomposition unique d'un nombre entier en produit de facteurs premiers, qui s'étend naturellement à un nombre rationnel en prenant les exposants négatifs pour les facteurs du dénominateur, et c'est tout. Il est inutile d'évoquer les nombres $p$-adiques dans cette affaire.
    Je suggère qu'on tire parti de ma suggestion pour répondre à la question.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Bon, je mets les pieds dans le plat.
    Pour tout nombre entier naturel premier $p$, tout $r \in \mathbb Q \backslash \{0 \}$, et tout $n \in \mathbb N^*$, on a : $v_p(r^n)=n v_p(r)$.
    L’égalité : $f(1)=f(\frac1n)^n$ implique donc que $ v_p(f(1))$ est divisible par tout $n \in \mathbb N^*$.
    Etc.
  • Kcg
    Kcg
    Chaurien je comprends mieux cette notion de p-valuation:
    Avec ton idée, voici ce que j'ai : $v_{p}(f(1))=nv_{p}(f(1/n))$ donc $v_{p}(f(1))$ est divisible par tous entier naturel. Ce qui implique que $v_{p}(f(1))=0$.
    On suppose que $f(1)=a/b$ alors $v_{p}(f(1))=v_{p}(a)-v_{p}(b)=0$. Ainsi $v_{p}(a)=v_{p}(b)$ pour tout entier premier p. On déduit donc que $a=b$ et donc $f(1)=1$.
    C'était ça ton idée Chaurien ??
  • Chaurien
    Chaurien
    Oui, à peu près. Ou bien que pour tout rationnel $r$ autre que $0,1,-1$, le numérateur ou le dénominateur a un diviseur premier $p$, d'où $v_p(r) \neq 0$ pour au moins un nombre premier $p$. En tout cas, ça permet de conclure.
    Maintenant, je ne sais pas s'il y a une autre approche qui n'utilise pas cette notion de $v_p(...)$.
    Cette notion est de toutes façons intéressante en soi, elle n'est pas difficile, et tu t'en es rendu compte.
  • Kcg
    Kcg
    Ah ok. J'avais négligé un détail si $v_{p}(a)=v_{p}(b)$ pour tout nombre premier p, alors on a plus tôt $a$ est égal à plus ou moins $b$. Or $a$ et $b$ ne peuvent pas être de signe contraire donc $a=b$.

    Maintenant comme on l'a fait avec $f(1)$, on peut faire de même avec $f(n/m)$.
  • Kcg
    Kcg
    Chaurien pour l'autre méthode ,il me semble que Maxtimax en a une autre. Un grand merci déjà à toi pour toutes ces idées.
  • Kcg
    Kcg
    Maxtimax , ta méthode est toujours la bienvenue. D'ailleurs, je suis curieux de la connaître.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bah si $f(n/2m)^2 = f(n/m)$, c'est que $f(n/m)$ a une racine carrêe rationnelle.
    Et le $2$ ici est esthétique : connais-th beaucoup de rationnels qui ont des racines $k$-èmes rationnelles pour tout $k$ ? :-D
    Mais c'est la même méthode que Chaurien
  • Kcg
    Kcg
    Je vois l'idée Maxtimax. Mais écrire ça, c'est une une autre chose. Merci pour tout.
    Pourtant il serait intéressant de prouver que $1$ est l'unique rationnelle positif qui a une racine $k$-ième rationnelle pour tout $k$ sans avoir à définir la fonction $v$ introduite par Chaurien.
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