Par définition de $x$, aucun des $x^{a},x^{2a},x^{3a},...,x^{(b-1)a}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe tandis que si $e$ est l'élément neutre on a $x^{k}=x^{ab}=e$ (par définition de $x$). Donc $x^a$ est d'ordre $b$.
NB:
Si $k$ est l'ordre de $x$ cela signifie qu'aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe et réciproquement si aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément du groupe et que $x^k$ est égal à l'élément neutre cela signifie que $k$ est l'ordre de $x$.
Mais si la question est: soit $d$ un entier naturel non nul qui divise l'entier naturel non nul $n$ existe-t-il toujours un élément d'ordre $d$ dans un groupe d'ordre $n$?
La réponse est non.
Fin de partie:
Je n'arrive pas à trouver la différence entre ce que j'ai fait et la question que j'ai posé au départ. Si on a O(y) =b est ce qu'on ne peut pas conclure immédiatement que O(x) =Pi^(ai).
Un exemple plus petit est le groupe $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est d'ordre $4$, formé d'un élément d'ordre $1$ : le neutre $(0,0)$ et de trois éléments d'ordre $2$ : $(1,0),\ (0,1),\ (1,1)$, donc pas d'élément d'ordre $4$, et pourtant $4$ divise l'ordre du groupe.
En revanche, comme l'indique FdP, on montre qu'un groupe d'ordre $n$ qui admet un élément $a$ d'ordre $n$ est cyclique isomorphe à $\Z/n\Z$, et que pour tout diviseur $d$ de $n$ l'élément $a^{n/d}$ est d'ordre $d$.
Alain
Badrino : dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316752#msg-2316752
tu écris $x=\alpha^{n/p_1^{\alpha_1}}$, mais tu n'as pas dit ce qu'était $\alpha$ ? Un tel élément $\alpha$ d'ordre $n$ n'existe pas dans un groupe en général. On montre qu'il en existe un si, et seulement si, le groupe est cyclique d'ordre $n$, donc isomorphe à $\Z/n\Z$.
Alain
Badrino
Ben non, l'exemple suivant avec un ordre strictement plus petit est le groupe $G=(\Z/2\Z)^3$, qui est d'ordre $8$, dont tous les éléments sont d'ordre $1$ ou $2$, donc pas d'élément d'ordre $4$ diviseur strict de $8$.
Si tu as le droit, mais tu dois montrer qu'il existe un tel élément $y$ d'ordre $b$. Ce que tu n'as pas fait.
Et si tu essayes de le faire, tu vas te rendre compte que c'est équivalent à montrer l'existence d'un $x$ d'ordre $n$, donc que le groupe est cyclique.
Alain
J'ai utilisé ce raisonnement pour construire un élèment dont l'ordre est l'exposant d'un groupe fini. Mais j'ai compris que ce que j'ai fait est faux. Merci beaucoup.
Réponses
NB:
Si $k$ est l'ordre de $x$ cela signifie qu'aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément neutre du groupe et réciproquement si aucun des $x,x^2,...,x^{k-1}$ n'est égal à l'élément du groupe et que $x^k$ est égal à l'élément neutre cela signifie que $k$ est l'ordre de $x$.
PS:
$x^{am}=(x^a)^m$
Si ce diviseur est un nombre premier $p$ on peut trouver un élément d'ordre $p$.
Est-ce qu’il y a des éléments d’ordre 12 dans $\mathfrak{S}_4$ ?
-- Schnoebelen, Philippe
La réponse est non.
Je pense qu'elle vrai dans le cas où le groupe est cyclique ?
Est-ce que je dois tester tous les éléments de $\mathfrak S_4$ ?
Ton erreur est que si on a $a^d=e$ on ne peut pas en déduire que $d$ est l'ordre de $a$ mais seulement que l'ordre de $a$ divise $d$.
Je n'arrive pas à trouver la différence entre ce que j'ai fait et la question que j'ai posé au départ. Si on a O(y) =b est ce qu'on ne peut pas conclure immédiatement que O(x) =Pi^(ai).
Oui c'est un très bon exercice pour mieux apréhender $\mathfrak S_4$.
Un exemple plus petit est le groupe $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ qui est d'ordre $4$, formé d'un élément d'ordre $1$ : le neutre $(0,0)$ et de trois éléments d'ordre $2$ : $(1,0),\ (0,1),\ (1,1)$, donc pas d'élément d'ordre $4$, et pourtant $4$ divise l'ordre du groupe.
En revanche, comme l'indique FdP, on montre qu'un groupe d'ordre $n$ qui admet un élément $a$ d'ordre $n$ est cyclique isomorphe à $\Z/n\Z$, et que pour tout diviseur $d$ de $n$ l'élément $a^{n/d}$ est d'ordre $d$.
Alain
tu écris $x=\alpha^{n/p_1^{\alpha_1}}$, mais tu n'as pas dit ce qu'était $\alpha$ ? Un tel élément $\alpha$ d'ordre $n$ n'existe pas dans un groupe en général. On montre qu'il en existe un si, et seulement si, le groupe est cyclique d'ordre $n$, donc isomorphe à $\Z/n\Z$.
Alain
J'ai compris votre exemple. Donc ce que j'ai fait pour alpha s'applique sur y. je n'ai pas le droit de faire o(y) =b.
Ben non, l'exemple suivant avec un ordre strictement plus petit est le groupe $G=(\Z/2\Z)^3$, qui est d'ordre $8$, dont tous les éléments sont d'ordre $1$ ou $2$, donc pas d'élément d'ordre $4$ diviseur strict de $8$.
Si tu as le droit, mais tu dois montrer qu'il existe un tel élément $y$ d'ordre $b$. Ce que tu n'as pas fait.
Et si tu essayes de le faire, tu vas te rendre compte que c'est équivalent à montrer l'existence d'un $x$ d'ordre $n$, donc que le groupe est cyclique.
Alain
Pour ma question de départ ce que j'ai écrit n'est pas correct il faut donc préciser le y.
Tu supposes l'existence d'un élémént $x$ d'ordre $k$ (ce qui est faux pour un groupe en général${}^1$) alors si $k=a\times b$, tu peux en effet toujours trouver un élément d'ordre $b$.
Le message de FdP qui suit http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316750#msg-2316750 en fait la démonstration.
Alain
${}^1$ Sauf si, comme indiqué par FdP http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2316742,2316756#msg-2316756, $k$ est un nombre premier divisant l'ordre de $G$ (théorème de Cauchy).