Idéaux d'une algèbre de type fini

Je travaille pour le moment la démonstration du lemme de Zariski. J'ai un léger problème avec leur preuve.

$A$ est donc supposée générée sur $K$ par $x_0,...,x_n$. Donc : tout $x \in A$ s'écrit $x=P(x_0,...,x_n)$ avec $P \in K[X_0,...,X_n]$.

Je suis d'accord pour dire que $A$ est bien engendrée par $x_1,...x_n$ sur $K(x_0)$. Ce que ça veut dire, c'est : tout élément $x \in A$ s'écrit $x = Q(x_1,...,x_n)$ avec $Q \in K(x_0)[X_1,...,X_n]$.

Maintenant, ils annoncent que "par hypothèse de récurrence", $x_1,...,x_n$ sont annulés par des polynômes $P_1,...P_n$ à coefficients dans $K(x_0)$ et unitaires.

Heu... pardon ? Non, l'hypothèse de récurrence, traduite littéralement, c'est ce que j'ai écrit avec le polynôme $Q$. En plus, un polynôme unitaire, c'est un polynôme en une seule indéterminée, donc je suis censé avoir $P_i \in K(x_0)[X]$ tel que $P_i(x_i)=0$ pour tout $i \in \{1,...,n\}$.

C'est censé sortir d'où, ce truc ?

J'ai du mal à achever la preuve du lemme de Zariski.

La dernière étape me pose problème à chaque mot ou presque :

- si $x_0$ était transcendant sur $K$, alors $K[x_0]_f$ serait intégralement clos, donc égal à $K(x_0)$ : il faudrait d'une part que la clôture intégrale de $K[x_0]_f$ dans son corps des fractions soit $K[x_0]_f$ lui-même, et d'autre part que le corps des fractions de $K[x_0]_f$ soit $K(x_0)$. Pour ce deuxième point, je pense comprendre : $K(x_0)$ est le corps des fractions de $K[x_0]$, donc c'est le "localisé maximal" de $K[x_0]$, et $K[x_0]_f$ est un localisé "intermédiaire" donc le corps des fractions de $K[x_0]_f$ est le même que celui de $K[x_0]$.
Donc pour le premier point : il faudrait que chaque élément de $K(x_0)$ qui est entier sur $K[x_0]_f$ soit un élément de $K[x_0]_f$. Soit donc $r \in K(x_0)$ un élément entier sur $K[x_0]_f$ : il existe donc un polynôme $P$, à coefficients dans $K[x_0]_f$, unitaire, tel que $P(r)=0$. Il faut montrer que $r \in K[x_0]_f$. Il faut forcément que j'utilise le fait que $x_0$ est transcendant sur $K$ : d'après ceci, j'ai $K[x_0] \simeq K[X]$, je ne sais pas encore comment m'en servir.

- il est absurde que $K[x_0]_f = K(x_0)$ d'après "le point précédent" de leur preuve. Heu... quoi ?




Post-scriptum complètement hors-sujet dédié aux modérateurs du forum : la barre espace de mon ordinateur portable fait des siennes depuis quelques jours, parfois elle fait des espaces doubles et parfois elle ne fait pas d'espace du tout. Je corrige moi-même toutes les fautes que je vois, j'espère que vous n'aurez pas trop de travail avec mes messages. Je préviens quand même, puisque je poste souvent.

J'ai été occupé par autre chose, mais j'ai déjà essayé de faire le cas de $\Z$ rapidement.

$\Z$ est intégralement clos ssi tout rationnel qui annule un polynôme unitaire à coefficients entiers est un entier. On sait déjà que tout entier est entier sur les entiers* (:-D) avec les polynômes $X-n$ pour tout $n \in \Z$.

Soit donc $\dfrac{a}{b}$ une fraction irréductible annulée par $P(X)=X^n+ k_{n-1}X^{n-1}+...+k_1X+k_0$, avec les $k_i \in \Z$.

Alors $a^n=-b(k_{n-1}a^{n-1}+...+k_1ab^{n-2} + k_0b^{n-1})$, donc $b$ divise $a^n$.

Comme $b$ est premier avec $a$ par hypothèse, en appliquant le lemme de Gauss à la chaîne, on trouve que $b$ divise forcément $a$, donc $b=1$.

Donc $\Z$ est intégralement clos.

EDIT/ajout : le lemme de Gauss est valable dans tout anneau principal, le seul détail qu'il faudrait que je rafraichisse est donc le suivant : dans le corps des fractions d'un anneau principal quelconque, une fraction admet-elle toujours une forme irréductible ? A voir.



*Je sais que ça ne sert à rien de le mettre en évidence, mais ça me faisait marrer.

OK, donc la preuve se généralise bien "comme annoncé" de $\Z$ à (au moins) n'importe quel anneau principal.

J'avais la flemme de chercher le nom des anneaux dans lesquels on a tous les ingrédients que j'ai utilisés :-D

Il faudrait peut-être que je me fasse un gros cours sur tous les anneaux commutatifs, vu tout le bazar qui existe. Comme me l'avait dit mon prof de théorie de Galois... "les anneaux, c'est compliqué". Mais ça serait un gros travail, ça prendrait du temps.

Bon, je voulais donc démontrer le résultat suivant :

Soit $k$ un corps. Alors $k[X]$ admet un nombre infini de polynômes irréductibles.

Un polynôme $P$ est dit irréductible si :
- $P$ n'est pas inversible
- dès qu'il existe $A$ et $B$ tels que $P=AB$, alors $A$ ou $B$ est inversible

Remarque pour mon petit cerveau : $0$ n'est pas irréductible.

J'ai choisi d'être extrêmement original et d'utiliser la même approche que pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. Je m'attends presque à ce qu'il existe une preuve élégante en 2 lignes à laquelle je n'arriverais jamais à penser par moi-même.

Supposons donc que $k[X]$ n'ait qu'un nombre fini $P_1,...,P_n$ de polynômes irréductibles.

Soit $Q=P_1P_2...P_n+1$.

Si $Q=P_i$, alors $P_i(1-P_1...P_{i-1}P_{i+1}P_n)=1$ et donc $P_i$ est inversible : absurde car $P_i$ est irréductible. Donc $Q \neq P_i$ pour tout $i$.

Donc $Q$ n'est pas irréductible. Donc : soit $Q$ est inversible, soit il existe $A$ et $B$ non inversibles tels que $Q=AB$.

Supposons que $Q$ soit inversible : alors $Q$ est constant non nul, et il existe $R$ inversible (constant non nul) tel que $QR=1$. Donc $P_1P_2...P_nR=1-R$. Si $R=1$, alors $P_1P_2...P_n=0$. Par intégrité de $k[X]$, il existe $i$ tel que $P_i=0$, donc $P_i$ n'est pas irréductible, ce qui est absurde. Donc $R \neq 1$. Donc $P_1P_2...P_n$ est constant non nul, donc inversible. Par associativité, les $P_i$ sont tous inversibles, ce qui est absurde. Donc $Q$ n'est pas inversible.

Donc il existe $A$ et $B$ non inversibles tels que $Q=AB$. Donc $P_1P_2...P_n+1=AB$, avec $A$ et $B$ non inversibles. Si $A$ et $B$ sont non inversibles, alors $AB \neq 1$, donc $P_1...P_n \neq 0$. Par contre, $P_1...P_n$ n'est pas nécessairement constant, donc... donc il me faut une idée.

Franchement, non, ce ne sont pas vraiment des choses que je "sais". J'ai déjà vu une bonne partie de ces choses quand j'étais en Licence, oui, mais je n'y vois pas particulièrement clair. Pour moi, il y a les anneaux intègres, les anneaux principaux, et les anneaux compliqués. Je serais incapable de citer la moindre propriété d'un anneau euclidien ou factoriel. Pour moi ce sont des noms de "un anneau dans lequel tel ou tel truc de l'arithmétique dans $\Z$ marche" mais c'est un giga-brouillard...

On appelle ça avoir la tête dans le guidon. Oui, je connais et j'aurais dû trouver tout seul.

Je travaille à démystifier les anneaux, sur le côté. Je trouve que les anneaux, c'est une horreur. Les groupes et les corps, ça va, mais les anneaux et tout ce qui s'y rapporte, au secours. Comme dit, je suis dessus, je vais très certainement ouvrir l'un ou l'autre fil dans les temps qui viennent.

Julia : il suffit que tu reprennes un exemple. Tu sais que  $\Q$ est le corps des fractions de $\Z$, donc dans $\Q$, $\dfrac{1}{n}$ existe pour tout $n \neq 0$. Tu peux cependant choisir de ne rendre "que $2$" inversible, dans ce cas tu fabriques $\Z_2$ : dans $\Z_2$, $\dfrac{1}{2}$ existe (de même que $\dfrac{1}{2^n}$ pour tout $n$) mais $\dfrac{1}{3}$ n'existe pas. Je pense que ça devrait suffire à clarifier ce qui change entre $K[x_0]_f$ et $K(x_0)$.