parties génératrices d'un p-groupe
Titre initial : <B>cardinal des parties génératrices et minimales d'un p-groupe</B>
<BR><BR>
Salut à tous
<BR>
<BR> Je sais que les parties génératrices minimales des <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupes ont le même cardinal.
<BR>
<BR>( L'idée de la démo :
<BR>
<BR> On montre que si <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> est un <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupe alors les parties génératrices et minimales de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> sont en bijection avec les bases d'un certain <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img3.png" ALT="$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$"></SPAN>-espace vectoriel.
<BR>
<BR>Cet espace vectoriel est <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> quotienté par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> (<SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> est le sous-groupe de Frattini de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> = intersection des sous-groupes maximaux de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN>))
<BR>
<BR> Mais là n'est pas ma question !
<BR> En fait je m'intéresse à ce cardinal.
<BR> Je n'arrive pas à calculer ce cardinal
<BR>
<BR> D'après la démo il suffirait de connaître la dimension de l'espace vectoriel <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="60" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img15.png" ALT="$ G/\Phi(G)$"></SPAN>
<BR>
<BR> Mais là je bloque complètement
<BR> J'ai essayé de savoir à quoi "ressemble" <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> dans un <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupe mais je ne vois pas.
<BR>
<BR>Alors Mesdames et Messieurs spécialistes de la théorie des groupes :
<BR>Help !!!
<BR>Merci
<BR>
<BR>PS: si un modérateur peut remplacer mon phi(G) avec du latex c'est cool . Merci
<BR>
<BR>[Je l'ai modifié. N'étant pas un spécialiste des groupes, si ça ne correspond pas à ce que tu veux, n'hésite pas à ma le dire. K]<BR>
[Marco, évite les titres trop longs. AD]
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Salut à tous
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<BR> Je sais que les parties génératrices minimales des <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupes ont le même cardinal.
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<BR>( L'idée de la démo :
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<BR> On montre que si <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> est un <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupe alors les parties génératrices et minimales de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> sont en bijection avec les bases d'un certain <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="40" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img3.png" ALT="$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$"></SPAN>-espace vectoriel.
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<BR>Cet espace vectoriel est <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> quotienté par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> (<SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> est le sous-groupe de Frattini de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN> = intersection des sous-groupes maximaux de <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"></SPAN>))
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<BR> Mais là n'est pas ma question !
<BR> En fait je m'intéresse à ce cardinal.
<BR> Je n'arrive pas à calculer ce cardinal
<BR>
<BR> D'après la démo il suffirait de connaître la dimension de l'espace vectoriel <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="60" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img15.png" ALT="$ G/\Phi(G)$"></SPAN>
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<BR> Mais là je bloque complètement
<BR> J'ai essayé de savoir à quoi "ressemble" <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"></SPAN> dans un <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$"></SPAN>-groupe mais je ne vois pas.
<BR>
<BR>Alors Mesdames et Messieurs spécialistes de la théorie des groupes :
<BR>Help !!!
<BR>Merci
<BR>
<BR>PS: si un modérateur peut remplacer mon phi(G) avec du latex c'est cool . Merci
<BR>
<BR>[Je l'ai modifié. N'étant pas un spécialiste des groupes, si ça ne correspond pas à ce que tu veux, n'hésite pas à ma le dire. K]<BR>
[Marco, évite les titres trop longs. AD]
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Réponses
je sais que les parties génératrices minimales des $p$-groupes ont le même cardinal.
( l'idée de la démo :
on montre que si $G$ est un $p$-groupe alors les parties génératrices et minimales de $G$ sont en bijection avec les bases d'un certain $\Z/p\Z$-espace vectoriel.
Cet espace vectoriel est $G$ quotienté par $\varphi(G)$ ( $\varphi(G)$ est le sous groupe de Frattini de $G$ = intersection des sous-groupes maximaux de $G$))
Mais là n'est pas ma question!
En fait je m'interesse à ce cardinal.
Je n'arrive pas à calculer ce cardinal
D'après la démo il suffirait de connaitre la dimension de l'espace vectoriel $G/\varphi(G)$
Mais là je bloque completement
J'ai essayer de savoir à quoi "ressemble" $\varphi(G)$ dans un $p$-groupe mais je ne vois pas.
Alors Mesdames et Messieurs spécialistes de la théorie des groupes :
Help!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
merci
PS: si un modérateur peut remplacer mon phi(G) avec du latex c'est cool .merci
[Je l'ai modifié. N'étant pas un spécialiste des groupes, si ça ne correspond pas à ce que tu veux, n'hésite pas à ma le dire. K]
J'étudie toujours mon problème . J'arrive à trouver le sous-groupe de Frattini (et donc son cardinal, noté z) pour des groupes G de cardinal petit mais je ne trouve pas encore le lien entre z et le cardinal de G
à suivre ...
Que dire sur l'ordre du sous-groupe de Frattini $\Phi(G)$ d'un $p$-groupe $G$ d'ordre $p^m$
On sait que $1 \leq |\Phi(G)| \leq p^{m-1}$
Ces bornes sont atteintes par $G=(\Z/p\Z)^m = \Phi(G)$ pour la borne 1
et par $G = \Z/p^m\Z$ pour la borne $p^{m-1}$
Ces 2 exemples sont d'ailleurs les seuls vérifiant ces bornes, en effet :
$\bullet\quad |\Phi(G)|=p^{m-1}$ alors $G$ admet une famille génératrice à 1 élément, donc est cyclique.
$\bullet\quad |\Phi(G)|=1$ alors $G=\Phi(G) \simeq (\Z/p\Z)^m$
Pour tout puissance intermédiaires $p^r, \ 0\leq r \leq m-1$ on sait trouver un $p$-groupe dont $|\Phi(G)| = p^r$, et donc dont toute famille génératrice contient $m-r$ éléments.
Que veux-tu savoir de plus ?
Alain
Que dire sur l'ordre du sous-groupe de Frattini $\Phi(G)$ d'un $p$-groupe $G$ d'ordre $p^m$
On sait que $1 \leq |\Phi(G)| \leq p^{m-1}$
Ces bornes sont atteintes par $G=(\Z/p\Z)^m = \Phi(G)$ pour la borne 1
et par $G = \Z/p^m\Z$ pour la borne $p^{m-1}$
Ces 2 exemples sont d'ailleurs les seuls vérifiant ces bornes, en effet :
$\bullet\quad |\Phi(G)|=p^{m-1}$ alors $G$ admet une famille génératrice à 1 élément, donc est cyclique.
$\bullet\quad |\Phi(G)|=1$ alors $G=\Phi(G) \simeq (\Z/p\Z)^m$
Pour tout puissance intermédiaires $p^r, \ 0\leq r \leq m-1$ on sait trouver un $p$-groupe dont $|\Phi(G)| = p^r$, et donc dont toute famille génératrice contient $m-r$ éléments.
Que veux-tu savoir de plus ?
Alain
$G/\Phi(G)$
Oui j'aimerais en savoir plus !!
J'ai bien compris ce que tu dis pour les bornes du cardinal du sous groupe de Frattini et , dans le cas où elles sont atteintes , la "forme" de G.
Mais je me demande si , un p-groupe G étant donné, on peut reconnaître son sous groupe de Frattini directement avec le cardinal de G ?
Faut-il d'abord "reconnaitre" le p-groupe G de départ ? (et donc classifier les p-groupe si c'est possible)
On m'a parlé d'un lien avec les groupes nilpotents ...
Je suis preneur de toutes suggestions
Marco++
Ce que je t'ai indiqué hier c'est que pour un ordre $p^m$, on savait construire des groupes d'ordre $p^m$ dont le sous-groupe de Frattini est d'ordre $p^r$ pour tout $r,\ 1\leq r \leq m-1$.
Il suffit de prendre $\Z/p^{r+1}\Z \times (\Z/p\Z)^{m-r-1}$ qui a une famille génératrice minimale de $m-r$ éléments donc un sous-groupe de Frattini d'ordre $p^r$ (et en plus il est commutatif).
Il faut aussi savoir que tous les $p$-groupes sont des groupes nilpotents, puisqu'ils ont un centre toujours non trivial.
Quand à classifier les $p$-groupes, c'est une question largement ouverte !
Rien que pour les 2-groupes la croissance du nombre de groupes d'ordre $2^m$ est plus qu'exponentielle.
Voir les discussions sur le forum :
\lien{ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=158067&t=158056#reply_158067}
ou bien \lien{ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=217422&t=216662#reply_217422}
Alain
Si quelqu'un a cinq minutes pour m'aider, je coince sur ce problème: je cherche à déterminer $\Phi(\Z/n\Z)$ et j'aboutis à deux cas: soit $n$ est la puissance d'un nombre premier $p$, auquel cas $\Phi(\Z/n\Z)=\Z/\frac{n}{p}\Z$, soit il ne l'est pas et $\Phi(\Z/n\Z)=(e)$.
Il y a sûrement une erreur car j'ai un document sur lequel il est affirmé que
\[\Phi\left(\frac{\Z}{\left(\prod p_i^{\alpha_i}\right)}\right)=\left\langle\overline{\prod p_i}\right\rangle\cong\frac{\Z}{\left(\prod p_i\right)\Z}\]
Si jamais l'un d'entre vous a le résultat et sa démonstration, je suis très intéressé!
Merci d'avance
skilveg