parties génératrices d'un p-groupe

marco++ · January 2006

Titre initial : cardinal des parties génératrices et minimales d'un p-groupe
 
Salut à tous
 
 Je sais que les parties génératrices minimales des <IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$">-groupes ont le même cardinal.
 
 ( L'idée de la démo :
 
 On montre que si <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"> est un <IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$">-groupe alors les parties génératrices et minimales de <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"> sont en bijection avec les bases d'un certain <IMG WIDTH="40" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img3.png" ALT="$ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$">-espace vectoriel.
 
 Cet espace vectoriel est <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"> quotienté par <IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"> (<IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"> est le sous-groupe de Frattini de <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$"> = intersection des sous-groupes maximaux de <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img2.png" ALT="$ G$">))
 
 Mais là n'est pas ma question !
 En fait je m'intéresse à ce cardinal.
 Je n'arrive pas à calculer ce cardinal
 
 D'après la démo il suffirait de connaître la dimension de l'espace vectoriel <IMG WIDTH="60" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img15.png" ALT="$ G/\Phi(G)$">
 
 Mais là je bloque complètement
 J'ai essayé de savoir à quoi "ressemble" <IMG WIDTH="39" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78344/cv/img1.png" ALT="$ \Phi(G)$"> dans un <IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/31/78322/cv/img1.png" ALT="$ p$">-groupe mais je ne vois pas.
 
 Alors Mesdames et Messieurs spécialistes de la théorie des groupes :
 Help !!!
 Merci
 
 PS: si un modérateur peut remplacer mon phi(G) avec du latex c'est cool . Merci
 
 [Je l'ai modifié. N'étant pas un spécialiste des groupes, si ça ne correspond pas à ce que tu veux, n'hésite pas à ma le dire. K] 
[Marco, évite les titres trop longs. AD]

Kuja · January 2006

salut à tous

je sais que les parties génératrices minimales des $p$-groupes ont le même cardinal.

( l'idée de la démo :

on montre que si $G$ est un $p$-groupe alors les parties génératrices et minimales de $G$ sont en bijection avec les bases d'un certain $\Z/p\Z$-espace vectoriel.

Cet espace vectoriel est $G$ quotienté par $\varphi(G)$ ( $\varphi(G)$ est le sous groupe de Frattini de $G$ = intersection des sous-groupes maximaux de $G$))

Mais là n'est pas ma question!

En fait je m'interesse à ce cardinal.
Je n'arrive pas à calculer ce cardinal

D'après la démo il suffirait de connaitre la dimension de l'espace vectoriel $G/\varphi(G)$

Mais là je bloque completement
J'ai essayer de savoir à quoi "ressemble" $\varphi(G)$ dans un $p$-groupe mais je ne vois pas.

Alors Mesdames et Messieurs spécialistes de la théorie des groupes :

Help!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

merci

PS: si un modérateur peut remplacer mon phi(G) avec du latex c'est cool .merci

[Je l'ai modifié. N'étant pas un spécialiste des groupes, si ça ne correspond pas à ce que tu veux, n'hésite pas à ma le dire. K]

marco++ · January 2006

Merci K pour la modification. C'est extra et beaucoup plus beau !

J'étudie toujours mon problème . J'arrive à trouver le sous-groupe de Frattini (et donc son cardinal, noté z) pour des groupes G de cardinal petit mais je ne trouve pas encore le lien entre z et le cardinal de G

à suivre ...

Alain Debreil · January 2006

Bonsoir Marco

Que dire sur l'ordre du sous-groupe de Frattini $\Phi(G)$ d'un $p$-groupe $G$ d'ordre $p^m$

On sait que $1 \leq |\Phi(G)| \leq p^{m-1}$
Ces bornes sont atteintes par $G=(\Z/p\Z)^m = \Phi(G)$ pour la borne 1
et par $G = \Z/p^m\Z$ pour la borne $p^{m-1}$

Ces 2 exemples sont d'ailleurs les seuls vérifiant ces bornes, en effet :

$\bullet\quad |\Phi(G)|=p^{m-1}$ alors $G$ admet une famille génératrice à 1 élément, donc est cyclique.
$\bullet\quad |\Phi(G)|=1$ alors $G=\Phi(G) \simeq (\Z/p\Z)^m$

Pour tout puissance intermédiaires $p^r, \ 0\leq r \leq m-1$ on sait trouver un $p$-groupe dont $|\Phi(G)| = p^r$, et donc dont toute famille génératrice contient $m-r$ éléments.

Que veux-tu savoir de plus ?

Alain

Alain Debreil · January 2006

Bonsoir Marco

Que dire sur l'ordre du sous-groupe de Frattini $\Phi(G)$ d'un $p$-groupe $G$ d'ordre $p^m$

On sait que $1 \leq |\Phi(G)| \leq p^{m-1}$
Ces bornes sont atteintes par $G=(\Z/p\Z)^m = \Phi(G)$ pour la borne 1
et par $G = \Z/p^m\Z$ pour la borne $p^{m-1}$

Ces 2 exemples sont d'ailleurs les seuls vérifiant ces bornes, en effet :

$\bullet\quad |\Phi(G)|=p^{m-1}$ alors $G$ admet une famille génératrice à 1 élément, donc est cyclique.
$\bullet\quad |\Phi(G)|=1$ alors $G=\Phi(G) \simeq (\Z/p\Z)^m$

Pour tout puissance intermédiaires $p^r, \ 0\leq r \leq m-1$ on sait trouver un $p$-groupe dont $|\Phi(G)| = p^r$, et donc dont toute famille génératrice contient $m-r$ éléments.

Que veux-tu savoir de plus ?

Alain

$G/\Phi(G)$

marco++ · February 2006

Merci Alain pour ces réponses

Oui j'aimerais en savoir plus !!

J'ai bien compris ce que tu dis pour les bornes du cardinal du sous groupe de Frattini et , dans le cas où elles sont atteintes , la "forme" de G.

Mais je me demande si , un p-groupe G étant donné, on peut reconnaître son sous groupe de Frattini directement avec le cardinal de G ?

Faut-il d'abord "reconnaitre" le p-groupe G de départ ? (et donc classifier les p-groupe si c'est possible)

On m'a parlé d'un lien avec les groupes nilpotents ...

Je suis preneur de toutes suggestions

Marco++

Alain Debreil · February 2006

Bonsoir Marco

Ce que je t'ai indiqué hier c'est que pour un ordre $p^m$, on savait construire des groupes d'ordre $p^m$ dont le sous-groupe de Frattini est d'ordre $p^r$ pour tout $r,\ 1\leq r \leq m-1$.
Il suffit de prendre $\Z/p^{r+1}\Z \times (\Z/p\Z)^{m-r-1}$ qui a une famille génératrice minimale de $m-r$ éléments donc un sous-groupe de Frattini d'ordre $p^r$ (et en plus il est commutatif).

Il faut aussi savoir que tous les $p$-groupes sont des groupes nilpotents, puisqu'ils ont un centre toujours non trivial.

Quand à classifier les $p$-groupes, c'est une question largement ouverte !
Rien que pour les 2-groupes la croissance du nombre de groupes d'ordre $2^m$ est plus qu'exponentielle.
Voir les discussions sur le forum :
\lien{ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=158067&t=158056#reply_158067}
ou bien \lien{ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=217422&t=216662#reply_217422}

Alain

skilveg0 · August 2006

Bonsoir,

Si quelqu'un a cinq minutes pour m'aider, je coince sur ce problème: je cherche à déterminer $\Phi(\Z/n\Z)$ et j'aboutis à deux cas: soit $n$ est la puissance d'un nombre premier $p$, auquel cas $\Phi(\Z/n\Z)=\Z/\frac{n}{p}\Z$, soit il ne l'est pas et $\Phi(\Z/n\Z)=(e)$.

Il y a sûrement une erreur car j'ai un document sur lequel il est affirmé que

\[\Phi\left(\frac{\Z}{\left(\prod p_i^{\alpha_i}\right)}\right)=\left\langle\overline{\prod p_i}\right\rangle\cong\frac{\Z}{\left(\prod p_i\right)\Z}\]
Si jamais l'un d'entre vous a le résultat et sa démonstration, je suis très intéressé!

Merci d'avance

skilveg

skilveg0 · August 2006

Hem... Si quelqu'un voulait bien effacer cet abominable isomorphisme, aussi... Par contre la première égalité est correcte

parties génératrices d'un p-groupe

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Bonjour!

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