Orthogonalisation de Gram-Schmidt

Dans l'ouvrage de Gourdon "Les Maths en tête" (tome d'algèbre)

Bonjour,

Pour bien comprendre le procédé d'orthogonalisation de Graham-Schmidt, voilà un exemple de construction d'une base orthonormale ou orthonormée : c'est la même chose.

Soit $(e_1,e_2,e_3)$ trois vecteurs distincts et quelconques de $\R^3$. En termes imagés, on peut imaginer trois stylos de couleurs différentes orientés dans notre espace ambiant, de telles façons qu'aucun de ces stylos ne soit orthogonal à chacun des deux autres.

On veut construire une base orthonormée à partir de ces trois vecteurs. Autrement dit pour reprendre notre image avec les stylos, on veut "déformer" physiquement chacun de ces stylos afin que chacun d'entres-eux soit orthogonal aux autres et les "normer". Comment faire ?

$\bf1ère\ étape :$

Tout d'abord, il nous faut choisir un vecteur "référent" afin de calibrer les deux vecteurs restants. Pour être un peu original, choisissons le vecteur $e_2$. Nous allons le normer. Cela se fait tout simplement en la divisant par sa norme, il vient :

$e'_2=\frac{e_2}{\vert\vert e_2\vert\vert}$

On vient donc de choisir un axe, ici $e_2$, qu'on a normalisé. C'est à dire qu'on a divisé chacune de ses coordonnées par $\vert\vert e_2\vert\vert$ pour obtenir $e'_2$.

$\bf2ième\ étape :$

Ensuite, on déforme au sens physique du terme le vecteur $e_1$ dans le plan $(e'_2,e_1)$ ( prendre un autre des deux stylos qu'il reste en imaginant qu'on va le couper avant de le rendre orthonormal à $e'_2$. En termes mathématiques, cela signifie qu'on recherche un nouveau vecteur $e'_1$ sous la forme :

$e'_1=e_1 -\alpha e'_2$
(Dans tous les ouvrages, il s'agît d'une différence, mais rien n'empêche d'effectuer une addition. On rallonge alors l'un des stylos.)

Il nous reste ensuite à demander que notre nouveau vecteur $e'_1$ soit orthogonal à notre vecteur référent $e'_1$, ce qui se traduit en termes de produit scalaire par : $=0$. Ce qui est encore équivalent à :

$ < e_1-\alpha e'_2,e'_2>\ =0$, c'est à dire :
$ <e_1,e'_2>-\alpha < e'_2,e'_2>\ =0$ soit $ <e_1,e'_2>\ =0$. Posons alors
$ \alpha=\ < e_1,e'_2> $. Il vient que :

$ e'_1= e_1- < e_1,e'_2> e'_2$. Ensuite, il nous reste à normaliser ce nouveau vecteur en le divisant à nouveau par $ \vert\vert e_2\vert\vert$. Ce qui donne alors :
$ e''_1=\frac{e'_1}{\vert\vert e_2\vert\vert}$ ( attention, c'est un vecteur $ e''$.).

Et on a notre base orthonormale $ (e'_2,e''_1)$. Idem pour obtenir le troisième vecteur $ e''_3$. On le recherche sous la forme :

$ e'_3= e_3 -\alpha e'_2 -\alpha' e''_1$ sous les conditions $ e'_3$ orthogonal à $ e'_1$ et $ e'_3$ orthogonal à $ e''_1$. Et on le normalise en divisant par $ \vert\vert e_2\vert\vert$

Donc l'idée à retenir, on choisit un vecteur qu'on normalise. Et on ensuite, on rallonge où on raccourcit les autres par rapport aux nouveaux vecteurs de la nouvelle base obtenue, et c'est toujours à la fin qu'on normalise.

En espérant avoir été clair,
Cordialement,
Clotho.

Bonsoir,

Je viens de retrouver cette explication - que j'avais donnée en février 06 - de la construction d'une base orthonormale.

Est-ce que l'un d'entre vous pourrait me la valider définitivement?

Est-ce un bon moyen d'expliquer "simplement" le principe de cette construction?

En vous remerciant d'avance,

Cordialement,
Clotho

Je ne vois pas en quoi Gram-Schmidt est utile pour Cauchy-Schwarz. La preuve classique de Cauchy-Scharz, c'est une histoire de polynôme de degré 2 qui a un discriminant négatif (astucieux mais tout élémentaire et rapide).

Avec quel produit scalaire ?
Sourire, Bonjour, Au revoir, Merci ?

Bonjour Clotho,
Merci pour cette bonne explication, qui m'a permis de bien comprendre le procédé.
Cependant, je pense qu'il y a une petite erreur, sur la normalisation de $e'_1$.
Il faut le diviser par $||e'_1||$ et non pas par $||e_2||$.
Est-ce que je me trompe ?

Eh bien, quand tu normalises le vecteur $e'_k$ (notations ci-dessus), tu as le choix entre deux vecteurs $u_k$, au signe près. Celui que l'on privilégie en général est celui pour lequel $(e_k|u_k)>0$. En plus, ça le rend unique.

Cdlt, Hicham