suites de Cauchy dans Q

Regarde la construction usuelle de $\R$ par les suites de Cauchy tu trouveras quelque renseignement.

P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.

J'en profite pour rectifier un théorème apris en général de façon incomplète qui dit que tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet, ceci n'est vrai que si le corps de base de l'ev est lui-même complet pour la norme considéré, je pense que que l'énoncé tronqué viens du fait qu'en prepa ou qu'en début de fac on considère essentiellement des $\R$ ou $\C$ evn.

On peut parler d'evn si le corps n'est pas R ou C ?
Qu'est-ce qu'une norme sur un Z/pZ-ev ??

Pour définir un espace vectoriel normé, il faut que le corps de base soit muni d'une valeur absolue, c'est-à-dire une application $|\cdot|$ définie sur le corps et à valeurs réelles positives ou nulles, vérifiant les axiomes suivants

\begin{enumerate}
\item $|x+y| \leq |x|+|y|$
\item $|xy| = |x|\cdot |y|$
\item $|x|=0$ si et seulement si $x=0$
\end{enumerate}

Donc rien n'empêche de prendre $\Q$, muni de la valeur absolue usuelle (mais il n'est alors pas complet). En revanche sur $\Z/p\Z$ toute valeur absolue est nécessairement triviale c'est-à-dire $|x|=1$ pour tout $x \in (\Z/p\Z)^*$.

Oui sylvain c'est justement ton post qui m'a fait pensé à l'énoncé tronqué du théorème, car $\Q$ vu comme $\Q$ ev muni de la valeur absolue n'est pas complet et montre donc que l'énoncé du théorème est incomplet, et pour romainm que penses tu de $N : \Z /p \Z \longrightarrow \N , N(c(k))=k$ ou $c(k)$ est la classe de k dans $\Z /p \Z$

Pour Sylvain : il te suffit d'étudier le sous-espace des suites de Cauchy de $\Q$ qui convergent vers $0$. C'est-à-dire l'espace des suites de $\Q$ qui convergent vers $0$ (toute suite convergente est de Cauchy). A première vue il y a beaucoup de telles suites, cet espace est de dimension infinie.

Considérons donc l'espace $E = \{u = (u_n)_{n \in \N} \in \Q^{\N}, \; u_n \rightarrow 0\}$ des suites de $\Q$ qui convergent vers $0$.

Sylvain, tu demandes si $E$ est complet pour la distance $d$ définie par $d(u,v) = \operatorname{sup}_{n \in \N} |u_n - v_n|$. Cela revient à munir $E$ de la norme

$||u|| = \operatorname{sup}_{n \in \N} |u_n|.$

On peut considérer

$W = \{(u_n)_{n \in \N}, \; u_0 \in \Q \textrm{ et } u_n = 0 \textrm{ pour tout }n \geq 1\} \subset E$.

$W$ est isomorphe à $\Q$ et la norme induite sur $W$ n'est autre que la valeur absolue usuelle, pour laquelle $\Q$ n'est pas complet. À partir de là on voit qu'il existe des suites de Cauchy de $W$ (donc de $E$) qui ne convergent pas dans $E$. Donc $E$ n'est pas complet.

Pour prolonger un peu la réflexion on pourrait se poser la question suivante. Identifions dans $E$ les suites qui coïncident à partir d'un certain rang. Plus rigoureusement, cela revient à quotienter $E$ par le sous-espace des suites qui sont nulles à partir d'un certain rang. Notons $E'$ le quotient. Peut-on munir $E'$ d'une distance naturelle et si oui, $E'$ est-il complet pour cette distance ? Qu'en penses-tu Sylvain?

Je définis la notion d'équivalence suivante dans $E$ : deux suites sont dites équivalentes lorsqu'elles coïncident à partir d'un certain rang. Par exemple, tous les éléments de $W$ sont équivalents à la suite nulle. On peut formaliser cette notion en parlant de &quotrelation d'équivalence", mais peu importe.

Je considère maintenant l'ensemble $E$ modulo cette équivalence (un peu comme dans la construction de $\R$ à partir de $\Q$ : on considère les suites de Cauchy modulo les suites qui tendent vers $0$). Notons $E'$ l'ensemble des éléments de $E$ modulo équivalence. Ma question est : peut-on munir $E'$ d'une distance pour laquelle il est complet?

Autre exemple de quotient : l'ensemble $\Z/n\Z$ des entiers modulo $n$.

soit $U_k=(u_{k,n})_{n \in \N}$ avec $u_{k,0}=la tronquature de racine de 2 à la k-ième décimale$ et $\forall n \geq 1$ $u_{k,n}=0$ ,alors $U_k$ est bien un élément de $E$ (et même de $W$) et considérons la suite (U_n)_{n \in \N}$ qui est suite de cauhy d'éléments de $E$ et $limU_n=(v_n)_{n \in \N}$ avec $v_0=rac(2)$ et $\forall n \geq 1$ $v_n=0$ et cette suite n'est pas un élement de $E$, cela n'apporte pas tellement par rapport à la démo de fb, si ce n'est le fait d'exhiber une suite d'éléments de $E$ de limite qui n'est pas dans $E$,

Soit $U_k=(u_{k,n})_{n \in \N}$ avec $u_{k,0}=$ la troncature de $\sqrt{2}$ à la $k$-ième décimale et $\forall n \geq 1,\ u_{k,n}=0$, alors $U_k$ est bien un élément de $E$ (et même de $W$) et considérons la suite $(U_n)_{n \in \N}$ qui est suite de Cauchy d'éléments de $E$ et $\lim U_n=(v_n)_{n \in \N}$ avec $v_0=\sqrt{2}$ et $\forall n \geq 1,\ v_n=0$ et cette suite n'est pas un élément de $E$, cela n'apporte pas tellement par rapport à la démo de fb, si ce n'est le fait d'exhiber une suite d'éléments de $E$ de limite qui n'est pas dans $E$,

sylvain regarde le code latex de mon précédant message, tu y trouveras peut-être des éclairsissements, sinon fb comme distance dans E' je ne vois que $d(U',V')=inf_{u \in U' , v \in V'}(||u-v||)$, est-ce bien une distance et peut-on définir d'autres?

je devrais me relire :
- Les classes d'équivalence formeNT une partition de E.
- ou encore Le quotient de E par la relation d'équivalence.

désolée pour ces erreurs, j'espère qu'il n'y en pas d'autres...

lili.