Nbr classes

Reprenons...

$\K = \Q(\sqrt {-23})$ est un corps quadratique imaginaire, dont la borne de Minkowski est effectivement $\approx 3,05$. A noter dès maintenant que {\it la borne de Gauss}, meilleure que celle de Minkowski, peut être utilisée pour ce corps puisqu'il est quadratique : toute classe d'idéaux entiers contient un idéal non nul de norme $\leqslant \sqrt {23/3} \approx 2,77$. Il est facile de vérifier que $2$ est totalement décomposé dans $\K$, c'est-à-dire que $(2) = \mathfrak {p}_2 \mathfrak {p'}_2$. En passant au quotient, on obtient : $\overline {\mathfrak {p}_2} \overline {\mathfrak {p'}_2} = \overline {(1)}$. Ainsi, nous avons $3$ classes : la classe triviale, celle de $\mathfrak {p}_2$ et celle de $\mathfrak {p'}_2$. Donc, si $h(-23)$ désigne le nombre de classes de $\K$, on a obtenu $h(-23)=3$.

{\bf Remarques}.

1. La formule du nombre de classes aurait pu aussi s'appliquer dans cet exemple.

2. Il est étonnant de voir un calcul de nombre de classes au niveau L3, même pour un corps quadratique...

Borde.

Oui, au niveau M1, on étudie les corps quadratiques, et pas au-delà me semble-t-il. Pour ma part, j'ai appris la théorie algébrique "complète" en DEA (M2), et il faut bien cela !

Borde.