Nbr classes
Réponses
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Edit : en fait je trouve la borne égale à 3.05.
DOnc je déompse (2) et (3).
je trouve (2)=P2.P2' et (3)=P3.P3'.
Donc il y a effectivement au plus 5 classes d'idéaux si sont supposées totues distinctes les classes :
cl(1), cl(P2), cl(P2'), cl(P3) et cl(P3').
C'est ça ?? -
Reprenons...
$\K = \Q(\sqrt {-23})$ est un corps quadratique imaginaire, dont la borne de Minkowski est effectivement $\approx 3,05$. A noter dès maintenant que {\it la borne de Gauss}, meilleure que celle de Minkowski, peut être utilisée pour ce corps puisqu'il est quadratique : toute classe d'idéaux entiers contient un idéal non nul de norme $\leqslant \sqrt {23/3} \approx 2,77$. Il est facile de vérifier que $2$ est totalement décomposé dans $\K$, c'est-à-dire que $(2) = \mathfrak {p}_2 \mathfrak {p'}_2$. En passant au quotient, on obtient : $\overline {\mathfrak {p}_2} \overline {\mathfrak {p'}_2} = \overline {(1)}$. Ainsi, nous avons $3$ classes : la classe triviale, celle de $\mathfrak {p}_2$ et celle de $\mathfrak {p'}_2$. Donc, si $h(-23)$ désigne le nombre de classes de $\K$, on a obtenu $h(-23)=3$.
{\bf Remarques}.
1. La formule du nombre de classes aurait pu aussi s'appliquer dans cet exemple.
2. Il est étonnant de voir un calcul de nombre de classes au niveau L3, même pour un corps quadratique...
Borde. -
" Il est étonnant de voir un calcul de nombre de classes au niveau L3, même pour un corps quadratique..."
mais pas au niveau M1... -
Oui, au niveau M1, on étudie les corps quadratiques, et pas au-delà me semble-t-il. Pour ma part, j'ai appris la théorie algébrique "complète" en DEA (M2), et il faut bien cela !
Borde. -
Un dernier petit truc, plus pour la culture qu'autre chose...Un raisonnement combinatoire montre que, si $\K$ est un corps quadratique de nombre de classes $h_{\K}$, et de borne de Gauss (ou de Minkowski) $b_{\K}$, alors on a : $$h_{\K} \leqslant \sum_{n \leqslant b_{\K}} \tau(n),$$ où $\tau(n)$ est le nombre de diviseurs de $n$. Appliquée ici, cette inégalité fournit, compte tenu de la borne de Gauss calculée plus haut : $$h_{\K} \leqslant \tau(1) + \tau(2) = 3.$$ Cette inégalité est très peu connue, et donne souvent d'assez bons résultats.
Pour plus de renseignements et/ou des généralisations, consulter \lien {http://jipam-old.vu.edu.au/v3n3/053_01_www.pdf}
Bon courage pour les examens,
Borde.
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