déterminant
dans Algèbre
Bonjour !
Je voudrais juste avoir une petite précision, sur quoi se base-t-on pour le calcul de déterminant ? Je ne parle pas de quelle est la formule ; mais comment sait-on par exemple que le déterminant :
|a b | = ab'-a'b
|a' b'|
(je prends le déterminant d'une matrice 2x2 , c'est pour éviter de taper la formule générale)
Si possible avec une petite explication historique.
Merci d'avance
Amicalement
Je voudrais juste avoir une petite précision, sur quoi se base-t-on pour le calcul de déterminant ? Je ne parle pas de quelle est la formule ; mais comment sait-on par exemple que le déterminant :
|a b | = ab'-a'b
|a' b'|
(je prends le déterminant d'une matrice 2x2 , c'est pour éviter de taper la formule générale)
Si possible avec une petite explication historique.
Merci d'avance
Amicalement
Réponses
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Cela dépend, quelle est ta définition du déterminant?
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Bonsoir racinedecheveux.
J'ai rappelé récemment (sujet "orientation d'un espace euclidien" \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=280317&t=280317}) une définition du déterminant de $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ relativement à une base orientée $\cal B$. Il suffit d'appliquer cette définition pour en déterminer le calcul. Faisons le calcul en dimension $2$. Si $(a_{1,i},a_{2,i})$ est le couple des coordonnées du vecteur $x_i$ relativement à la base orientée ${\cal B} = (e_1,e_2)$ on obtient (j'omets de rappeler la base orientée):
$$\begin{array}{rcl}
\det(x_1,x_2) &= &\det(a_{1,1}e_1 + a_{2,1}e_2,a_{1,2}e_1 + a_{2,2}e_2) \\
&= &a_{1,1}a_{1,2}\det(e_1,e_1) + a_{1,1}a_{2,2}\det(e_1,e_2) + \cdots
\end{array}$$
Comme le déterminant est dans ce cas la forme bilinéaire alternée vérifiant $\det(e_1,e_2) = 1$ on a :$$\det(e_1,e_1) = \det(e_2,e_2) = 0 \quad \text{et} \quad \det(e_2,e_1) = - \det(e_1,e_2) = -1$$d'où :$$\det(x_1,x_2) = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}$$ce qui est la formule bien connue. On démontre une formule analogue dans le cas général mais celle-ci nécessite quelques développements sur les permutations de l'ensemble des $n$ premier entiers et sur la signature d'une telle permutation.
Bruno -
Bonjour!
Merci Bruno, desole je n'avais pas lu ce message parce que je n'ai pas encore bien etudie les espaces euclidiens.
amicalement -
Very interesting forum!
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