sommation

Bonjour !
Je voudrais savoir s'il existe une théorie ou des recherches sur les opérations algébriques ; entre autres sur la sommation, définie comme suite :
Soit $(E, \star)$ un groupe, on définit une sommation par :$$X_{i=1}^n u_i = u_1 \star u_2 \star \ldots \star u_n$$
maintenant on peut définir la loi $ \delta$ :
$ a \star a \star\ldots\star a, \ n$ fois s'écrit $ a\delta n$
Donc on peut obtenir :
$X_{i=1}^n u_i \delta \lambda= (X_{i=1}^n u_i) \delta \lambda$
$X_{i=1}^n u_i \star v_i = X_{i=1}^n u_i \star X_{i=1}^n v_i$
En remplaçant $X$ par $ \prod$ ou $ \sum$ on retrouve les propriétés habituelles, après il faut regarder si la loi est commutative, etc... Pour obtenir certainement d'autres propriétés ...
Enfin voilà je recherche des documents qui parlent de l'étude en elle-même des propriétés des loi internes et externes.

Amicalement
PS: J'espère avoir été clair


[Je n'avais d'abord rien compris, mais je tente une interprétation … Est-elle conforme à ce que tu as derrière la tête ?
Texte original dans "Code Latex". AD]

Bonsoir Racinede...

Je ne vois pas trop la signification de ton opérateur $X$, en quoi est-il différent de $\prod$ (si tu choisis la notation multiplicative) ou $\sum$ (pour la notation additive) ?
Bon, comme tu choisis la notation "$\star$-itive" pourquoi pas $X$.

Tu définis la loi $\delta$ par $a\star\ldots\star a=a\delta n$. Alors $a \in E$, mais $\lambda$ est dans quoi, sans doute dans $\N$ ou dans $\Z$. Mais alors pourquoi pas la notation traditionnelle $a^n$ ?

Tu écris alors
>
Quand tu écris cela, tu supposes que la loi $\star$ est commutative parce que :
Pour simplifier prenons $n=2$.
Tu écris :
$u_1\delta \lambda \star u_2\delta \lambda = (u_1\star u_2)\delta\lambda$, c'est à dire en prenant $\lambda=2$
$u_1^ 2 \star u_2^ 2 = (u_1\star u_2)^2$, ce qui est équivalent à dire que $u_1$ et $u_2$ commutent (compose par $u_1^{-1}$ à gauche et $u_2^{-1}$ à droite).
Si cela est vrai pour tous les $u_i$ alors la loi $\star$ est commutative.

Ou alors je n'ai pas compris les notations ?
Alain

Bonjour !
En fait mon idée, c'est de faire de l'algèbre non pas avec des éléments quelconques mais avec des lois quelconques.
On imagine par exemple, on va définir $(E,\star)$ un groupe abélien.
On appelle sommation l'écriture :
$X_{i=1}^{n} u_i = u_1 \star u_2 \star\ldots\star u_n$
On définit comme avant l'opérateur $\delta$
$a \star a \star\ldots\star a,\ n$ fois s'ecrit $a\delta n$
On obtient ainsi : $$X_{i=1}^{n} (u_i \delta \lambda)= \left(X{i=1}^{n} u_i\right)\delta \lambda$$ Prenons l'exemple basique de $\sum$ qui est l'addition :
on définit donc $\delta$ par la multiplication (toujours usuelle), ainsi on obtient avec la formule du dessus :
$\sum_{i=1}^{n} u_i \lambda= \left(\sum_{i=1}^{n} u_i\right) \lambda$
de même on peut obtenir :
$\prod_{i=1}^{n} u_i^{\lambda} = \left(\prod_{i=1}^{n} u_i\right)^{\lambda}$

On peut donc obtenir : pour la loi "puissance"
$\delta: a^{a^{a^{a}}},\ n$ fois (j'évite de faire des fautes latex)
donc : $puissance_{i=1}^n a_i \delta \lambda =
puissance_{i=1}^n a_i^{a_i^{a_i}}},\ (\lambda\ \textrm{fois\ donc}) =
\left(puissance_{i=1}^n a_i\right) \delta \lambda$
En fait on peut manipuler des formes assez lourdes grâce au symbole de sommation ; ensuite par exemple calculer :
$\sum_{i=1}^{n} 5 u_i$ est simple si on sait que c'est égal à $5 \sum_{i=1}^{n} u_i = \frac{5n(n+1)}{2}$

Ici si on travaille un peu sur les opération réalisables on peut, peut-être, simplifier les expressions lourdes et finalement les calculer ; un peu comme avec les calculs au niveau du dénombrement, on a quelque chose d'assez complexe en sachant qu'on peut deviner la forme grâce à la formule du binôme ça devient simple.
Du genre $\sum_{i=0}^{n} C_n^k = 2^{n}$
Si on écrit la somme qu'avec la forme factorielle et qu'on ne connaît pas la formule du binôme, la somme parait très difficile.
Enfin bref, le but étant ici d'étudier les sommes avec des opérations dont on ne connaît pas plus que leurs propriétés basiques du genre commutative et associative et pouvoir aboutir à des formules de simplification pour pouvoir calculer ensuite des mastodontes d'opérations avec des partitions ou des puissances de puissance ou autre...
Je repose donc ma question : est-ce que quelqu'un connaît le domaine de l'algèbre où l'on étudie uniquement les opérations et non pas les éléments qui composent par exemple un groupe ?
Si oui, et si vous avez un lien, je serais très intéressé.
Merci d'avance à quiconque qui aura le courage de lire plusieurs fois le sujet pour bien le comprendre...
Amicalement
PS: Ma connaissance empirique du latex et le sujet comportant des symboles particuliers fait que mon message n'est pas très "clair", je m'en excuse, le mieux étant de suivre le sujet avec un papier et un crayon.

Je ne connais pas de théorie a ce sujet, tout simplement parce qu'à mon avis c'est inutile. Quand on définit des lois, ou des operateurs, les propriétés interessantes sont la commutativité (pour utiliser le binome de Newton), l'associativité aussi, et puis ca va pas beaucoup plus loin.

Mais par exemple on peut considerer la dérivation comme un operateur et ca peut se rapprocher de ce que tu veux expliquer... (jette un oeil aux exos de sup sur la construction de la loi "puissance", son extension de N à R, etc...)