qu'en pensez vous??

alexis0 · April 2006

bonsoir
j'ai une petite question à vous poser
soit E un espace vectoriel de dimension 3 de base B=(e1,e2,e3).
disons que j'ai à démontrer que E=A$\oplus$B ou A sont deux sous espces vectoriel de E.
supposons que A=vect(a1,a2) et B=vect(a3). est ce que j'ai le droit de dire que pour prouver que E=A$\oplus$B il suffit de démontrer que (a1,a2,a3) est une base de E ????!!! si oui, quelle en est la démonstration???

merci beaucoup

Guimauve0 · April 2006

$E=A \oplus B \Longleftrightarrow \forall x \in E \exists ! (a,b) \in A \times B$ tq $x=a+b$

Si $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $E$, tout $x\in E$ se décompose de façon unique en $x=a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3$ avec $(a_1 e_1 + a_2 e_2)\in A$ et $a_3 e_3 \in B$.

alexis0 · April 2006

je crois que vous n'avez pas répondu à ma question!!!
merci quand même.
qu'est ce qu'en pense les autres??

SadYear · April 2006

Guimauve a déjà tout dit là je crois.

alexis0 · April 2006

mais non !!!! il mélange entre scalaire et vecteurs!!!! oh...
moi j'ai dis que A=vect(a1,a2) et B=vect(a3). alors que lui il suppose que x=a1e1+.... or a1 et e1 sont des vecteurs!!!

qu'en pensez vous , j'ai le désordre dans ma cervelle!! aidez moi svp.
merci

SadYear · April 2006

Oups oui effectivement.

Remplace les vecteurs ei par ai dans son post et les scalaires par xi et relis le tout ça devrait être bon :

Si (a1, a2, a3) est une base de E alors tout vecteur x de E s'écrit de manière unique sous la forme : x = (x1.a1 + x2.a2) + x3.a3 = u + v avec u dans A et v dans B

Donc oui, montrer que (a1, a2, a3) est une base est suffisant.

Guimauve0 · April 2006

Ouais j'avais pas fait gaffe à la façon dont tu as noté tes scalaires. Remplaces mes $(a_i)$ par des $(\alpha_i)$ et mes $(e_i)$ par des $(a_i)$.

Hugo_ · April 2006

De manière generale des qu'on est en dimension finie, faut se donner une base, si l'énoncé parle d'une fonction, d'un endomorphisme, vérifier qu'il vérifie une propriété sur la base l'assure sur l'EV (a condition d'être linéaire la fonction...).
Le tout est de se trouver LA bonne base, par exemple chez les polynomes ca peut aller de la base canonique à la base de Lagrange.

kilébo · April 2006

Alexis, pour répondre à ta question : oui ca suffit.

Car si $x\in{}A$ et $x\in{}B$ (x est dans l'intersection de A et de

, le fait que (a1, a2, a3) soit une base et en particulier libre, t'assureras que x = 0. (x = x1.a1 + x2.a2 = x3.a3 => x1.a1 + x2.a2 - x3.a3 = 0 => x1 = x2 = x3 = 0)

qu'en pensez vous??

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