Equipotence des bases
Bonjour,
Je recherche une démonstration du lemme de l'échange, utilisé notamment pour démontrer l'équipotence des bases d'un espace vectoriel.
Seul m'intéresse le cas fini. Le lemme est le suivant : Si B et B' sont deux bases d'un espace vectoriel, alors pour tout $x \in{B}$ on peut associer $x' \in{B'}$ tel que $(B\backslash\{x\})\cup\{x'\}$ soit une base.
J'ai une démonstration de ce résultat, mais je n'en saisis pas toutes les étapes...
Merci.
Je recherche une démonstration du lemme de l'échange, utilisé notamment pour démontrer l'équipotence des bases d'un espace vectoriel.
Seul m'intéresse le cas fini. Le lemme est le suivant : Si B et B' sont deux bases d'un espace vectoriel, alors pour tout $x \in{B}$ on peut associer $x' \in{B'}$ tel que $(B\backslash\{x\})\cup\{x'\}$ soit une base.
J'ai une démonstration de ce résultat, mais je n'en saisis pas toutes les étapes...
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si L est une famille libre et G une famille génératrice alors on peut compléter L avec certains éléments de G pour former une base.
Avec ça, ça marche tout seul.
Pour démontrer ce théorème, tu le fais de manière algorithmique :
Si L est une base, c'est fini.
Sinon, on montre par l'absurde qu'il existe x dans G tel que L'=(L union {x}) est encore libre et on recommence avec L'.
Pourrais-tu expliciter la démarche à suivre démontrer le lemme, sur base de ce théorème? J'avoue être un peu dans le flou, il doit y avoir un petit truc qui m'échappe.