Tu as toujours le droit de d'écrire des choses, mais sont-elles varaies ? Sérieusement :$$\det(-M) = (-1)^n\det(M)$$si $M \in \mathcal M_n(K)$ avec caractéristique de $K$ différente de $2$.
J'ai juste tiré le parapluie. on ne fait pas de théorie des déterminants en caractéristique $2$ car les $n$-formes alternées ont un comportement étrange et venu d'ailleurs.
Une forme $p$-linéaire alternée est une application $f : E^p \longrightarrow K$ qui s'annule dès que deux arguments sont identiques. Pour simplifier je rest avec $p = 2$ on a donc, pour tout vecteur $x$ et $y$ :$$0 = f(x + y,x + y) = f(x,x) + f(x,y) + f(y,x) + f(y,y) = f(x,y) + f(y,x)$$donc, et c'est là que ça devient cocasse :$$f(y,x) = -f(x,y) = f(x,y)$$puisqu'en raison de la caractéristique $2$, tout scalaire est son propre symétrique. Une forme alternée est donc symétrique, rien que cela ! Bref on s'abstient.
Réponses
Tu as toujours le droit de d'écrire des choses, mais sont-elles varaies ? Sérieusement :$$\det(-M) = (-1)^n\det(M)$$si $M \in \mathcal M_n(K)$ avec caractéristique de $K$ différente de $2$.
Bruno
Le deteminant est une forme multilineaire
Donc si $M$ est une matrice $n*n$ on a $det(-M)=(-1)^ndet(M)$
On a a pas non $plus det(A+B)=det(A)+det(B)$
Par contre $det(AB)=det(A)det(B)$ est vrai
Le determinant est une forme multilineaire
Donc si $M$ est une matrice $n*n$ on a $det(-M)=(-1)^ndet(M)$
On a a pas non plus $det(A+B)=det(A)+det(B)$
Par contre $det(AB)=det(A)det(B)$ est vrai
Merci
J'ai juste tiré le parapluie. on ne fait pas de théorie des déterminants en caractéristique $2$ car les $n$-formes alternées ont un comportement étrange et venu d'ailleurs.
Une forme $p$-linéaire alternée est une application $f : E^p \longrightarrow K$ qui s'annule dès que deux arguments sont identiques. Pour simplifier je rest avec $p = 2$ on a donc, pour tout vecteur $x$ et $y$ :$$0 = f(x + y,x + y) = f(x,x) + f(x,y) + f(y,x) + f(y,y) = f(x,y) + f(y,x)$$donc, et c'est là que ça devient cocasse :$$f(y,x) = -f(x,y) = f(x,y)$$puisqu'en raison de la caractéristique $2$, tout scalaire est son propre symétrique. Une forme alternée est donc symétrique, rien que cela ! Bref on s'abstient.
Bruno