Suite de corps et dimension

naos · April 2006

Bonsoir,

Je préviens tout de suite que le titre n'est peut-être pas le plus adapté qui soit au sujet... j'ai pas trouvé mieux.

Comparons $\R$, $\C$ et $\H$ (quaternions). On a les inclusions $\R \subset \C \subset \H$ . On remarque que, en les considérant comme $\R$-espaces vectoriels, $\R$ est engendré par 1, $\C$ par $(1,i)$ et $\H$ par $(1,i,j,k)$. Hamilton a cherché longtemps avant de trouver les quaternions : parce qu'il cherchait quelque chose de dimension 3, et non 4. Quand je parle de dimension d'un corps, j'entend &quotdimension de l'espace vectoriel sur ce corps".

Peut-on affirmer qu'il n'y a pas de surcorps $\L$ de $\R$ tel que $\R \subset \L \subset \C$ (strictement) ? De même pour $\C$ et $\H$ (c'est là que ca m'embête : du point de vue e.v, on a $\R^3$) ?
Il me semble que oui. Est-ce la complétude de $\R$ qui permet de le dire ?

Y'a-t-il (il me semble que oui) un théorème qui affirme que si on prend une suite de surcorps de $\R$, strictement croissante au sens de l'inclusion, alors le k-ieme corps à pour dimension $2^k$ ?

J'espère ne pas avoir été confus (avec ces changement de point de vue : corps, ev, corps, ev, etc...)

Merci

Cordialement

naos · April 2006

Oulala !
Le latex a complétement foiré ! Ca sent le latex2html qui remplace mal les images !

naos · April 2006

Voici le contenu de mon premier post en pdf : c'est moins buggé

Cordialement

Alain Debreil · April 2006

Bonsoir,

Je préviens tout de suite que le titre n'est peut-être pas le plus adapté qui soit au sujet... Je n'ai pas trouvé mieux.

Comparons $\R,\ \C,\ \mathbb{H}$ (quaternions). On a les inclusions $\R \subset \C \subset \mathbb{H}$. On remarque que, en les considérant comme $\R$-espaces vectoriels, $\R$ est engendré par 1, $\C$ par $(1,i)$ et $\mathbb{H}$ par $(1,i,j,k)$. Hamilton a cherché longtemps avant de trouver les quaternions : parce qu'il cherchait quelque chose de dimension 3, et non 4. Quand je parle de dimension d'un corps, j'entends {\bf dimension de l'espace vectoriel sur ce corps}".

Peut-on affirmer qu'il n'y a pas de sur-corps $\L$ de $\R$ tel que $\R \subset \L \subset \C$ (strictement) ? De même pour $\C$ et $\mathbb{H}$ (c'est là que ça m'embête : du point de vue e.v, on a $\R^3$) ?
Il me semble que oui. Est-ce la complétude de $\R$ qui permet de le dire ?

Y a-t-il (il me semble que oui) un théorème qui affirme que si on prend une suite de sur-corps de $\R$, strictement croissante au sens de l'inclusion, alors le $k$-ieme corps à pour dimension $2^k$ ?

J'espère ne pas avoir été confus (avec ces changement de point de vue : corps, ev, corps, ev, etc...)
Merci
Cordialement

naos · May 2006

Merci AD pour la correction.

Sinon, personne n'a une idée ?

fb0 · May 2006

Effectivement, il n'y a pas de corps intermédiaire entre $\R$ et $\C$, ni entre $\C$ et $\mathbb{H}$. Des rudiments sur les extensions algébriques suffisent pour le démontrer. On définit le degré d'une extension $K \subset L$ comme la dimension de $L$ vu comme $K$-espace vectoriel. On montre alors que le degré d'une extension intermédiaire divise nécessairement le degré d'une extension donnée. En particulier, si $K$ est une extension intermédiaire entre $\R$ et $\C$, alors le degré de $K$ doit diviser $2$, donc être égal à $1$ ou $2$; par suite $K= \R$ ou $\C$. De même pour $\C$ et $\mathbb{H}$ (ou même pour $\R$ et $\mathbb{H}$).

En revanche il n'y a pas de sur-corps (associatif) de $\mathbb{H}$! Cela a été démontré je crois par Frobenius au $19\ieme{}$ siècle. Il existe une très belle démonstration topologique du fait

$\R^n$ possède une structure de corps si et seulement si $n=1, 2, 4$

qui a mené rapidement au développement de la \emph{$K$-théorie topologique}...

naos · May 2006

Et moi qui pensais que les octonions formaient un corps (je l'ai pas vérifié, vu la tête des éléments !)

Merci pour cette réponse trés instructive. Je vais immédiatement chercher la démo dont il est question.

Cordialement

fb0 · May 2006

Les octonions forment une $\R$-algèbre non commutative, non associative, avec élément unité, dans laquelle tout élément non nul est inversible.

Une interprétation topologique du problème que je trouve très belle :

Si la $\R$-algèbre $\R^n$ peut être munie d'une structure de corps, alors la sphère $S^{n-1} \subset \R^n$ de dimension $n-1$ possède un champ de vecteurs partout non nul.

Si l'on connaît le théorème de la "boule chevelue", on en déduit en particulier que la $\R$-algèbre $\R^3$ ne peut pas être munie d'une structure de corps!

fb0 · May 2006

Au lieu de "La $\R$-algèbre $\R^n$ peut être munie d'une structure de corps ..." je voulais dire "L'espace vectoriel $\R^n$ peut être muni d'une structure de corps ..."

naos · September 2006

Bonjour,

Juste pour vous dire que mon premier dm de l'année est une démonstration "élémentaire" du théorème de Frobenius. Donc si ça interesse quelqu'un, je peux le scanner.

Cordialement

fb1 · September 2006

Bonjour,

Oui je serais intéressé. Merci si vous avez le temps de le scanner !

naos · September 2006

S'il te plaît, tutoies-moi !

Normalement, je pourrais scanner le dm dimanche.

Cordialement

Bruno · September 2006

Pour le scan

ours · September 2006

r+ir

le vieux chinois que je suis pense autrement

naos · September 2006

Bonjour,

voici le sujet. Excusez moi pour le retard.

Cordialement

fb3 · September 2006

Merci !
Et bon courage pour cette année.

Cordialement

naos-loggé · September 2006

De rien.

N'hésite pas à me donner ton impression sur le sujet.

Cordialement

fb3 · October 2006

C'est un devoir très intéressant, d'autant que la démonstration du théorème de Frobenius est finalement plutôt "accessible". Mais comment l'as-tu trouvé toi? et les autres élèves?

Sinon, les quaternions ont quelques applications intéressantes : en topologie, en arithmétique... Par exemple, le fait que tout entier naturel est somme de quatre carrés peut se démontrer à l'aide des quaternions.

Madec0 · October 2006

Bonjour,

J'ai regardé rapidement le début du problème et je me pose une question de définition !

à la question 3a " montrer que toute algèbre réelle de dimension finie et sans diviseur de 0 est , pour sa structure d'anneau , un corps"

il me semble avoir lu que pour un algèbre , la deuxième loi interne X n'est pas forcément associative .
Par contre pour un anneau , elle doit l'être.

Donc il faut montrer deux choses :
1) la seconde loi est associative
2) tout élément non nul est inversible .

Pour le point 2) celà ne me paraît pas difficile , par contre je ne vois pas trop pour l'associativité ?
(mis à part si la dimension est 1 ou 2 auquel cas quelques calculs simples montrent qu'il y a associativité )

Quel est votre avis , manque t-il une hypothèse , faut-il supposer que X est associative?
Merci d'avance .

Madec

fb3 · October 2006

Oui, à mon avis il est supposé implicitement que A est associative.

Il s'agit de montrer l'implication (A intègre => tout élément non nul de A est inversible), ce qui découle du fait que A est de dimension finie sur R.

Madec0 · October 2006

Merci fb

je ne voyais pas comment m'en sortir lorsque n>=3 et donc l'associativité implicite m'arrange bien !

Madec

naos · October 2006

Bonjour

Excusez moi pour le retard : je n'avais pas vu qu'il y avait de nouveaux posts sur ce sujet.

fb : J'ai trouvé ce dm génial : d'une part il nous fait démontrer un résultat qu'on pensait complétement hors de portée, et d'autre part il est extrêmement stimulant : il faut vraiment comprendre comment ça marche pour ne pas escamoter des démonstrations, oublier des cas, etc... Je pense notamment à la question 4) : Elle est très bien faite, guidée au minimum, mais juste assez pour nous laisser de quoi réfléchir (la justification du passage de a) à b) puis à c)....)
Les autres : c'est un sujet d'algèbre pure et dure ; pour celui qui n'aime pas vraiment, ça peut semble carrément hermétique. Et là, on peut passer des heures dessus sans avancer d'un iota... En gros, ceux qui font des maths par plaisir l'ont trouvé interessant, et ceux qui font des maths par nécessité ont préféré le dm calculatoire suivant...

Finalement, si un jour j'enseigne, je n'hésiterais pas un instant à donner ce dm

Madec : Oui il y a quelques suppositions et &quoterreurs" d'énoncé : Notre prof se place dans le cadre du programme de spé : une algèbre est alors nécessairement associative et unitaire. Pour l'inversibilité de tout élèment non nul, on a implicitement utilisé le théorème que tu cites fb : on a définit l'application $f_x(y) = xy$ de $\mathcal{A}$ dans $\mathcal{A}$ et montré que c'est un automorphisme, du fait de la dimension finie (injectif + théorème du rang).
Pour les &quotoublis" d'énoncé, ils sont à partir de la question 5 ou 6 : n est implicitement supposé supérieur à 2 (mais ce qui trouble, c'est &quotmaintenant on suppose n supérieur à 2" qui intervient plus loin).

N'hésite pas si tu as d'autres questions.

Cordialement

Madec0 · October 2006

Bonsoir

J'ai tenté de rédiger la question 4 , en pièce jointe , en espérant que celà passe !

Madec

Madec0 · October 2006

Bonsoir

J'ai tenté de rédiger la question 4 , en pièce jointe , en espérant que celà passe !

Madec

[Contenu du fichier doc joint. AD]

Alain Debreil · October 2006

le fichier doc 5191

naos · October 2006

Madec : Je n'ai pas le corrigé de ce DM. Mais si tu veux, je pourrais comparer ta réponse avec la mienne, à partir de mercredi.
Attention, je ne dis pas que ma réponse est la bonne, et je n'ai pas la prétention de remplacer un corrigé, je ne fais que te proposer un avis.

Cordialement

cyrille · October 2006

bonjour,

j'ai juste une petite question concernant les espaces vectoriels:

Toute la théorie des espaces vectoriels est faite avec un corps des scalaires commutatif...

Dans les extensions utilisées il n'est pas dit que les corps en question soient commutatifs...

d' ou ma question : Le théorème de la base incomplète, la classification des ev à l'aide de la dimension...sont -ils des résultats ( utilisés dans les posts ci-dessus ) encore valable lorsque le corps des scalaires n'est pas commutatif?

merci

naos · October 2006

C'est une bonne question que tu poses là.

Mais pour le dm, il est dit au tout début que l'on considère des algèbres réelles

Cordialement

Madec0 · October 2006

Bonsoir ,

Naos , je pense avoir terminé ce pb , mais il y a un truc qui me chagrine un peu , avec me semble t-il un abus de langage à la question 7 a

" pour u et v dans B on pose = -1/2 ( uv+vu)
montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur B "

Normalement un produit scalaire devrait envoyer BxB dans $\R$
or ici on arrive dans A.
celà a peut-être un sens à un "isomorphisme près" c'est à dire si uv+vu est dans $\Re$
Et effectivement on a :
(u,v) dans BxB ---> u+v dans B (question 6 )
donc (u+v)^2= c e (a

Madec0 · October 2006

(re)bonsoir

Je ne maîtrise pas du tout Latex ! Dans le message précédent , il faut lire " si uv+vu est dands Re (droite vectorielle engendrée par e)

Nota :
pour la question 3a je pense qu'on peut éviter de faire réfèrence à la fonction fx de A dans A avec fx(y)=xy pour démontrer que A est un corps , lorsque A est intègre et de dimension finie .

on peut écrire : soit x non nul de A

et soit p = max i tel que ( e,x,x^2 ,.., x^i ) soit libre ; puisque la dimension de A est n alors p<= n-1

on a alors l'existence de (ai) i dans {0 , p+1} non tous nul tels que sigma ai x^i =0 ( avec x^0 =e par convention)
et on met alors facilement en évidence l'inverse de x

cordialement

Madec

naos-pas loggé · October 2006

Bonjour,

Vite fait au CDI avant de rentrer : il y a effectivement un abus de langage pour "produit scalaire" : l'application bilinéaire ainsi définie est à valeur dans $\R e$, canoniquement isomorphe à $R$, d'où l'abus

Pour le reste, comme promis, je te dis ça ce soir.

Cordialement

naos · October 2006

Bonsoir,

Comme promis, j'ai regardé ton document word. C'est exactement ce que j'ai fait, à cela près que ta rédaction est bien plus efficace que la mienne (j'ai rédigé une copie double pour cette question... toi la moitié

).
Bien sûr, il y a évidemment des personnes mieux placées que moi pour te dire si ce que tu as fait est correct ou non (défauts de rédaction, etc...)

De même pour la 7a, l'aspect &quotforme" de $$ se met en évidence en remarquant, comme tu l'as fait, que $(u+v)^2-u^2-v^2 = -2 $.

Enfin, j'avoue ne pas du tout avoir pensé à utiliser une espèce de polynôme minimal de $x$ pour montrer son inversibilité... C'est encore une fois bien plus efficace puisqu'ainsi, tu n'as pas à montrer que les inverses à gauche et à droite trouvés par $f_x$ sont égaux.

Demain, je devrais avoir le temps de rédiger une &quotproposition de correction", que je te donnerai. Je suis très content de voir que toi aussi tu trouves ce problème très interessant !!

Cordialement

Madec0 · October 2006

Bonjour Naos

Tiens essentiellement compte du corrigé de ton prof , car je ne le suis pas et ne voudrais surtout pas t'induire en erreur par une rédaction éventuellement hazardeuse!
Pour ma part je suis parent d'élève et j'ai continué à faire un peu de Maths ces dernières années pour les aider pendant leurs études ( ma fille était en spé l'an dernier et mon fils il y a 5 ans) .
Maintenant, à défaut des DM hebdomadaires de mes enfants , je parcours avec plaisir ce Forum ( même si je suis vite largué et surtout inculte dès lors qu'il s'agit de Maths de niveau >= L3)

Bonne continuation, en spé si j'ai bien compris.
Cordialement .

Madec

Suite de corps et dimension

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