groupe permutations

Bonjour,

On suppose avoir montré le résultat au rang $n$, et on le montre au rang $n+1$.

Soit $\sigma\in S_{n+1}$.
Si $\sigma(n+1)=n+1$, alors $\sigma$ induit une permutation de $\{1,2,...,n\}$, donc on peut l'écrire comme produit de transpositions, d'après l'hypothèse de récurrence.
Sinon, en notant $\tau$ la transposition $(n+1,s(n+1))$, on a :
$$\sigma^{-1}.\tau(n+1)=n+1$$ et donc, en reprenant ce qui vient d'être dit, on peut écrire :
$$\sigma^{-1}.\tau=\tau_{1}\tau_{2}...\tau_{k}
$$
où les $\tau_{i}$ sont des transpositions.

D'où :

$$\sigma=\tau.\tau_{k}...\tau_{2}\tau_{1}$$

et le résultat est montré.

Amicalement.
Olivier.

Re,

Ce n'est pas $s(i)$ qui est égal à $n+1$, mais $s^{-1}(i)$.

Amicalement.
Olivier.