Théorie des groupes
Bonjour,
je bloque stupidement sur une question d'un exercice, je serai preneur d'un indice.
Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes finis d'un groupe $G$.
On pose l'indice de $H$ inter $K$ dans $K$ est égal à $n$. (En français car je n'arrive pas à l'écrire en Latex)
Soit {$x_i$} pour $i$ de 1 à n, une famille de représentants des classes à droite distinctes de $K$ modulo $H$ inter $K$.
Démontrer que les {$Hx_i$} forment une partition de l'ensemble $HK$ (qui n'est pas nécessairement un sous-groupe)
Merci
je bloque stupidement sur une question d'un exercice, je serai preneur d'un indice.
Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes finis d'un groupe $G$.
On pose l'indice de $H$ inter $K$ dans $K$ est égal à $n$. (En français car je n'arrive pas à l'écrire en Latex)
Soit {$x_i$} pour $i$ de 1 à n, une famille de représentants des classes à droite distinctes de $K$ modulo $H$ inter $K$.
Démontrer que les {$Hx_i$} forment une partition de l'ensemble $HK$ (qui n'est pas nécessairement un sous-groupe)
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Définir une partition c'est équivalent à définir une relation d'équivalence.
Il faut donc trouver une relation d'équivalence entre éléments de $HK$, dont les $Hx_i$ forment les classes.
Que penses-tu de $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow yx^{-1}\in H$ sur les éléments de $HK$
Il te reste à montrer que c'est bien une relation d'équivalence, et que les classes sont au nombre de $n$ et donc de la forme $Hx_i$ (inspire-toi de la démo du 2ème théorème d'isomorphisme).
Alain
Pour la relation d'équivalence, c'est facile.
Maintenant, je vais me creuser la tête pour montrer qu'il y a n classes.
Merci B_J, je vais regarder cette démonstration.
La démonstration du théorème de Lagrange m'a plus inspiré. Et j'ai pu montrer que le nombre de classes est bien n.
Donc, n classes de type $Hx$, mais il me reste à montrer que les $x$ sont exactement les $x_i$ de l'énoncé. Et là, pour l'instant, c'est peut-être tout bête, mais je bloque...
J'ai (enfin) trouvé.
Merci à tous.