Théorie des groupes
Bonjour,
je bloque stupidement sur une question d'un exercice, je serai preneur d'un indice.
Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes finis d'un groupe $G$.
On pose l'indice de $H$ inter $K$ dans $K$ est égal à $n$. (En français car je n'arrive pas à l'écrire en Latex)
Soit {$x_i$} pour $i$ de 1 à n, une famille de représentants des classes à droite distinctes de $K$ modulo $H$ inter $K$.
Démontrer que les {$Hx_i$} forment une partition de l'ensemble $HK$ (qui n'est pas nécessairement un sous-groupe)
Merci
je bloque stupidement sur une question d'un exercice, je serai preneur d'un indice.
Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes finis d'un groupe $G$.
On pose l'indice de $H$ inter $K$ dans $K$ est égal à $n$. (En français car je n'arrive pas à l'écrire en Latex)
Soit {$x_i$} pour $i$ de 1 à n, une famille de représentants des classes à droite distinctes de $K$ modulo $H$ inter $K$.
Démontrer que les {$Hx_i$} forment une partition de l'ensemble $HK$ (qui n'est pas nécessairement un sous-groupe)
Merci
Réponses
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Bonjour Candide
Définir une partition c'est équivalent à définir une relation d'équivalence.
Il faut donc trouver une relation d'équivalence entre éléments de $HK$, dont les $Hx_i$ forment les classes.
Que penses-tu de $x \mathcal{R} y \Leftrightarrow yx^{-1}\in H$ sur les éléments de $HK$
Il te reste à montrer que c'est bien une relation d'équivalence, et que les classes sont au nombre de $n$ et donc de la forme $Hx_i$ (inspire-toi de la démo du 2ème théorème d'isomorphisme).
Alain -
thm de Lagrange ( notamment la demonstration de ce theoreme)
-
Merci Alain.
Pour la relation d'équivalence, c'est facile.
Maintenant, je vais me creuser la tête pour montrer qu'il y a n classes.
Merci B_J, je vais regarder cette démonstration. -
C'est vrai qu'en apparence il y a des analogies avec le contexte du 2ème théorème d'isomorphisme. Toutefois, ici pas de notion de sous-groupe distingué et HK n'est pas nécessairement un groupe... alors j'ai bloqué sur cette voie.
La démonstration du théorème de Lagrange m'a plus inspiré. Et j'ai pu montrer que le nombre de classes est bien n.
Donc, n classes de type $Hx$, mais il me reste à montrer que les $x$ sont exactement les $x_i$ de l'énoncé. Et là, pour l'instant, c'est peut-être tout bête, mais je bloque... -
C'est bon.
J'ai (enfin) trouvé.
Merci à tous.
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