caractère polynomial du determinant
dans Algèbre
Bonsoir
En fait, je n'ai pas très bien compris une chose concernant le calcul des déterminants en utilisant son caractère polynomial.
Est-ce que les pages de cours de ce site contiennent une explication de cette méthode.
( par exemple pour calculer un déterminant on dit parfois : delta est une expression polynomiale homogène de degré 4 en a et b et c invariante par permutation circulaire de a,b,c. nulle pour a=b b=c et c=a.
Donc delta=(a-b)(b-c)(c-a)*D où D a les mêmes propriétés que delta et est de degré 1 par suite D=k*(a+b+c) ... Franchement je n'ai rien compris en cette méthode ?? !!
Merci
En fait, je n'ai pas très bien compris une chose concernant le calcul des déterminants en utilisant son caractère polynomial.
Est-ce que les pages de cours de ce site contiennent une explication de cette méthode.
( par exemple pour calculer un déterminant on dit parfois : delta est une expression polynomiale homogène de degré 4 en a et b et c invariante par permutation circulaire de a,b,c. nulle pour a=b b=c et c=a.
Donc delta=(a-b)(b-c)(c-a)*D où D a les mêmes propriétés que delta et est de degré 1 par suite D=k*(a+b+c) ... Franchement je n'ai rien compris en cette méthode ?? !!
Merci
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Réponses
La formule de développement des déterminants :$$\Delta = \sum_{\sigma \in\mathfrak S_n}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i),i}$$montre bien que le déterminant est une fonction polynomiale à $n^2$ variables a priori (mais le nombre de variables peut se restreindre dans des cas particulier, notamment pour un Vandermonde), cette fonction est homogène de degré $n$ car chaque monôme est de degré $n$. Au delà, on ne peut rien dire de vraiment général.
Prenons le cas de ton Vandermonde d'ordre $3$ :$$\begin{vmatrix}1 &1 &1 \\ a &b &c \\ a^2 &b^2 &c^2\end{vmatrix}.$$La fonction $\Delta$ est donc une fonction polynômiale à trois variables, homogène de degré 3. Le polynôme est divisible par $P = (a -b)(b - c)(c - a)$ car il est divisible par chacun de ces trois binômes et ceux-ci sont premiers entre eux. Or $P$ est un polynôme homogène de degré $3$. Donc il existe un scalaire $\lambda$ tel que :$$\Delta = \lambda\,P$$Il reste à évaluer~$\lambda$ par exemple en regardant le monôme $bc^2$ qui figure positivement dans le développement de $\Delta$ comme dans celui de $P$, donc $\Delta = P$.
Bruno
$\displaystyle{\det M = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma)
a_{\sigma(1),1}\ldots a_{\sigma(n),n}}$ et le fait que $\det M$ soit un polynôme homogène de degré n en les coefficients de $M$ apparaît clairement.
Ensuite tu connais des choses sur le déterminant (nul si deux colonnes sont égales...) , ce qui dans ton cas particulier, doit se traduire par le fait que pour certaines valeurs de $a$, $b$.., le déterminant est nul.
Comme c'est un polynôme, tu peux le factoriser
Si tu veux le voir mieux, tu remplaces $a$ par $X$ et tu regardes quand le polynôme en $X$ obtenu s'annule...
Bruno
mais c'est plus clair