caractère polynomial du determinant

Toi, tu as en tête les Vandermonde :-))

La formule de développement des déterminants :$$\Delta = \sum_{\sigma \in\mathfrak S_n}\epsilon(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\sigma(i),i}$$montre bien que le déterminant est une fonction polynomiale à $n^2$ variables a priori (mais le nombre de variables peut se restreindre dans des cas particulier, notamment pour un Vandermonde), cette fonction est homogène de degré $n$ car chaque monôme est de degré $n$. Au delà, on ne peut rien dire de vraiment général.

Prenons le cas de ton Vandermonde d'ordre $3$ :$$\begin{vmatrix}1 &1 &1 \\ a &b &c \\ a^2 &b^2 &c^2\end{vmatrix}.$$La fonction $\Delta$ est donc une fonction polynômiale à trois variables, homogène de degré 3. Le polynôme est divisible par $P = (a -b)(b - c)(c - a)$ car il est divisible par chacun de ces trois binômes et ceux-ci sont premiers entre eux. Or $P$ est un polynôme homogène de degré $3$. Donc il existe un scalaire $\lambda$ tel que :$$\Delta = \lambda\,P$$Il reste à évaluer~$\lambda$ par exemple en regardant le monôme $bc^2$ qui figure positivement dans le développement de $\Delta$ comme dans celui de $P$, donc $\Delta = P$.

Bruno

Le Poulpe, nous sommes d'accord, mais je me suis fatigué un peu plus :-))

Bruno