ca veut dire quoi projectivement equivalente ?
que l'on peut faire un changement de carte et passer de l'une a l'autre ?
car dans ce cas la c'est la definition de conique qui nous assure cela
C'est très simple : tu choisis trois points $A,\ B,\ C$ (respectivement $A',\ B',\ C'$) sur la première (resp. seconde) conique. Soient $O$ (resp. $O'$) le pôle de la droite $(AB)$ $\big($resp. $(A'B')\big)$. On considère l'homographie $h$ du plan définie par :$$h(A) = A', \quad h(B) = B', \quad h(C) = C', \quad h(O) = O'.$$L'image de la conique $\mathfrak C$ par $h$ est $\mathfrak C'$ puisque l'image par $h$ de $\mathfrak C$ est une conique propre qui passe par $A'$, $B'$ et $C'$, qui admet la droite $(A'O')$ pour tangente en $A'$ (conservation du contact) et de même en $B'$ la droite $(B'O')$ ; or on sait qu'il n'y a qu'une conique du plan caractérisée par ces conditions.
Pardon ! Dans le cas général, c'est le point de concours des tangentes à la conique aux points où la droite coupe celle-ci. Je peux préciser plis si tu en as besoin.
La même question me taraude à propos des cubiques à point de rebroussement et à point double ordinaire....
Voici ce que je tente, sans pour autant arriver à une preuve formelle.
Pour les cubiques à points doubles, je ne vois pas bien pourquoi ta tentative aboutirait : y aurait-il une seule cubique tangente en A à deux droites sécantes en ce point et tangente à une troisième droite donnée ? Cela me paraît n'imposer que six points ce qui me semble peu. Mais je ne suis pas compétent.
Si j'envoie, comme vous le proposez les points entourés sur les points correspondant de la seconde cubique, alors:
Le contact au point double se fait avec multiplicité six au moins.
Les contacts au points de tangeance se font avec multiplicité 2 au moins.
De la sorte, la somme des multiplicités d'intersections est au moins 10, ce qui est juste assez pour pouvoir dire que ces deux cubiques ont une composante commune (c.f. théorème de Bezout). Puisqu'elle sont irréductibles, elles se confondent.
Le problème auquel je suis confronté est de savoir si le calcul des multiplicités est correct.
Si j'envoie, comme vous le proposez les points entourés sur les points correspondant de la seconde cubique, alors:
Le contact au point double se fait avec multiplicité six au moins.
Les contacts au points de tangeance se font avec multiplicité 2 au moins.
De la sorte, la somme des multiplicités d'intersections est au moins 10, ce qui est juste assez pour pouvoir dire que ces deux cubiques ont une composante commune (c.f. théorème de Bezout). Puisqu'elle sont irréductibles, elles se confondent.
Le problème auquel je suis confronté est de savoir si le calcul des multiplicités est correct.
Je ne sais pas si mon décompte est correct : 1 point + contact = 1 élément de contact = 2 points pour cette raison, je comptais 4 points pour le point double (deux éléments de contact) et les contacts Comment obtiens-tu 6 (au moins bien sûr) ?
Pour le point double: ce sont deux cubiques (degrés 3) ayant les mêmes tangentes en ce point. Puisqu'eles sont irreductibles, la composante homogène de degré deux est la première non nulle, et elle est identique dans les deux equations des deux cubiques. Ainsi
J'écris au cas où tu suivrais encore le fil ce dont je doute puisque tu n'as pas mis d'e-mail.
Je ne comprends toujours pas ton raisonnement ce qui m'inquiète.
On peut bien mettre les équations des deux cubiques sous la forme suivante :
$$c_1(X,Y,Z) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0 \quad \text{et} \quad c_2(X,Y,Z) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0$$où $c_1$ et $c_2$ sont deux polynômes homogènes de degré total $3$. Ensuite ?
J'écris au cas où tu suivrais encore le fil ce dont je doute puisque tu n'as pas mis d'e-mail.
Je ne comprends toujours pas ton raisonnement ce qui m'inquiète.
On peut bien mettre les équations des deux cubiques sous la forme suivante :
$$c_1(X,Y) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0 \quad \text{et} \quad c_2(X,Y) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0$$où $c_1$ et $c_2$ sont deux polynômes homogènes de degré total $3$. Ensuite ?
Ensuite...
On étudie ces courbes au voisinage du point (0;0;1) dont on suppose qu'il est un point d'intersection de celles-ci.
On deshomogeneise donc (Z |---> 1), reste à calculer les multiplicités d'intersection dans le plan affine:
Puisque les composantes homogène non nulles de plus bas degré de ces polynomes sont de degrés respectivement trois et deux, la multiplicité d'intersection en ce point est au moins 2*3 = 6.
Réponses
que l'on peut faire un changement de carte et passer de l'une a l'autre ?
car dans ce cas la c'est la definition de conique qui nous assure cela
C'est très simple : tu choisis trois points $A,\ B,\ C$ (respectivement $A',\ B',\ C'$) sur la première (resp. seconde) conique. Soient $O$ (resp. $O'$) le pôle de la droite $(AB)$ $\big($resp. $(A'B')\big)$. On considère l'homographie $h$ du plan définie par :$$h(A) = A', \quad h(B) = B', \quad h(C) = C', \quad h(O) = O'.$$L'image de la conique $\mathfrak C$ par $h$ est $\mathfrak C'$ puisque l'image par $h$ de $\mathfrak C$ est une conique propre qui passe par $A'$, $B'$ et $C'$, qui admet la droite $(A'O')$ pour tangente en $A'$ (conservation du contact) et de même en $B'$ la droite $(B'O')$ ; or on sait qu'il n'y a qu'une conique du plan caractérisée par ces conditions.
Bruno
Bruno
Bruno
"combien de fois-transitivement" le groupe PGL(3,k) agit-il sur le plan projectif?
Voici ce que je tente, sans pour autant arriver à une preuve formelle.
Bruno
Le contact au point double se fait avec multiplicité six au moins.
Les contacts au points de tangeance se font avec multiplicité 2 au moins.
De la sorte, la somme des multiplicités d'intersections est au moins 10, ce qui est juste assez pour pouvoir dire que ces deux cubiques ont une composante commune (c.f. théorème de Bezout). Puisqu'elle sont irréductibles, elles se confondent.
Le problème auquel je suis confronté est de savoir si le calcul des multiplicités est correct.
Le contact au point double se fait avec multiplicité six au moins.
Les contacts au points de tangeance se font avec multiplicité 2 au moins.
De la sorte, la somme des multiplicités d'intersections est au moins 10, ce qui est juste assez pour pouvoir dire que ces deux cubiques ont une composante commune (c.f. théorème de Bezout). Puisqu'elle sont irréductibles, elles se confondent.
Le problème auquel je suis confronté est de savoir si le calcul des multiplicités est correct.
Bruno
I(f2 + f3, g2 + g3) = I(f3, g2 + g3) >= 6
Bruno
J'écris au cas où tu suivrais encore le fil ce dont je doute puisque tu n'as pas mis d'e-mail.
Je ne comprends toujours pas ton raisonnement ce qui m'inquiète.
On peut bien mettre les équations des deux cubiques sous la forme suivante :
$$c_1(X,Y,Z) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0 \quad \text{et} \quad c_2(X,Y,Z) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0$$où $c_1$ et $c_2$ sont deux polynômes homogènes de degré total $3$. Ensuite ?
Bruno
J'écris au cas où tu suivrais encore le fil ce dont je doute puisque tu n'as pas mis d'e-mail.
Je ne comprends toujours pas ton raisonnement ce qui m'inquiète.
On peut bien mettre les équations des deux cubiques sous la forme suivante :
$$c_1(X,Y) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0 \quad \text{et} \quad c_2(X,Y) + Z\,(X^2 - Y^2) = 0$$où $c_1$ et $c_2$ sont deux polynômes homogènes de degré total $3$. Ensuite ?
Bruno
On étudie ces courbes au voisinage du point (0;0;1) dont on suppose qu'il est un point d'intersection de celles-ci.
On deshomogeneise donc (Z |---> 1), reste à calculer les multiplicités d'intersection dans le plan affine:
I(c_1 + X^2 - Y^2 , c_2 + X^2 - Y^2)
= I(c_1 - c_2, c_2 + X^2 - Y^2)
Puisque les composantes homogène non nulles de plus bas degré de ces polynomes sont de degrés respectivement trois et deux, la multiplicité d'intersection en ce point est au moins 2*3 = 6.
Merci
Bruno