aut(S6) =/= int(S6)
Bonjour,
Pour leçon agreg sur les groupes symétriques:
Pour n#6, tout automorphisme est intérieur : aut(Sn) = int(Sn)
de plus, pour n>=3, on a : aut(Sn) isomorphe à Sn
dans le cas de S6, int(S6) est un sous-groupe d'indice 2 de aut(S6)
J'ai fait un pb démontrant ce dernier résultat surprenant mais j'ai néanmoins du mal à exhiber concrètement un de ces 720 automorphismes intérieurs ; il apparaît qu'un tel automorphisme intérieur transforme une transposition en un produit de 3 transpositions disjointes. Je surnage ...
Merci de votre aide
Pour leçon agreg sur les groupes symétriques:
Pour n#6, tout automorphisme est intérieur : aut(Sn) = int(Sn)
de plus, pour n>=3, on a : aut(Sn) isomorphe à Sn
dans le cas de S6, int(S6) est un sous-groupe d'indice 2 de aut(S6)
J'ai fait un pb démontrant ce dernier résultat surprenant mais j'ai néanmoins du mal à exhiber concrètement un de ces 720 automorphismes intérieurs ; il apparaît qu'un tel automorphisme intérieur transforme une transposition en un produit de 3 transpositions disjointes. Je surnage ...
Merci de votre aide
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Réponses
<http://www.umpa.ens-lyon.fr/~hdavaux/AGREG-S6.ps>
???
comprends pas, quand on prend le conjugue d'un cycle par une permutation, ca ne reste pas un cycle?
Merci de me corriger si necessaire.
c'est pour les modérateurs
dans le titre ,c'est mieux si vous pouvez écrire le signe différent plutôt que le signe #(cardinal)
merci , après , pouvez supprimer ce message
Les classes de conjugaison sont conservees par automorphisme. Chaque classe de conjugaison correspond a un type de decomposition en cycles disjoints. De plus l'ordre d'un element est conserve par automorphisme.
Ainsi la classe de conjugaison formee par les transpositions s'envoie sur une autre classe de conjugaison d'elements d'ordre 2. Il se trouve que dans S6 la classe des produits disjoints de 3 transpositions (appeles parfois 'pseudo-transpositions') a meme cardinal que la classe des transpositions. On peut ainsi construire des automorphismes de S6 en envoyant un certain nombre de transpositions (engendrant S6; (12), (23), (34), (45), (56) par exemple) sur des pseudo-transpositions.
Nico
merci pour vos messages; j'ai aussi relu Perrin et refait le pb
on a:
Aut(S6) isomorphe à S6 donc d'ordre 720
Int(S6) ss-groupe de Aut(S6) d'indice 2
il reste donc 360 éléments appartenant à { Aut(S6) \ Int(S6) }; ce sont les automorphismes "extérieurs".
la classe des transpositions de S6 comprend 15 éléments d'ordre 2.
la classe des tri-transpositions ( ou pseudo-transpositions ) de S6 comprend aussi 15 élémets d'ordre 2
chaque automorphisme "extérieur" transforme la classe de conjugaison des transpositions en la classe des pseudo-transpositions.
(360=15 x 24 ) ; mais comment les déterminer ?
par exemple r de Aut(S6) qui vérifie r(1,2)=(2,3)(1,5)(4,6) est extérieure (le pb demandait de l'admettre) mais comment construire les autres?
c'est peut-être trop compliqué
je ne sais pas si je suis clair, merci
ton fichier est trop compliqué pour mon micro, car il me dit qu'il n'arrive pas à le lire.
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