matrice de rang 1 et trace

Dans R^3 la matrice 3xI vérifie la relation et pourtant n'est pas de rang 1

Tu peux regarder dans le document suivant
<http://allced.free.fr/similitude.pdf&gt; les lemmes 2 et 3.
Tu en déduiras facilement la solution à ton exo.

Bonsoir Dietrich

Ou bien directement : $f : K^n\rightarrow K^n$ endomorphisme de rang 1 ($K$ corps quelconque).
Soit $u$ un vecteur générateur de $\mathrm{im\,}f$ (qui est de $\dim 1$ ).
Alors pour tout $x \in K^n, \ f(x)=k_xu$ et $f\circ f(x)=f(k_xu)=k_xf(u)=k_xk_u u=k_uf(x)$.
C'est à dire que $X²-k_uX=X(X-k_u)$ est un polynôme annulateur de $f$.
Cela indique que $f$ admet la valeur propre 0 d'ordre $n-1=\dim\ker f$
et $k_u$ est l'unique valeur propre non nulle de $f$ qui vaut donc $k_u=Trace(f)$.
Donc $X²-Trace(f)X$ est donc le polynôme minimal de $f$.

Il n'y a pas équivalence, Argo t'a donné un contre exemple de la réciproque.

Alain

Bonsoir

Effectivement Eric a raison, la réciproque est vraie si $tr(M)\neq 0$:
Soit $M$ une matrice telle que $M²=tr(M).M$
Alors $X²-tr(M)X= X(X-tr(M))$ est un polynôme annulateur de $M$, comme il est scindé, $M$ est diagonalisable de valeurs propres 0 de multiplicité $\dim \ker f$ et $tr(M)$ de multiplicité $rg(M)$.
Comme la trace est la somme des valeurs propres : $tr(M)=\sum\limits_{i=1}^{rg(M)} tr(M) = rg(M).tr(M)$
Puisque $tr(M)\neq 0$ on en tire $rg(M)=1$

Alain