espace euclidien
Bonjour à tous,
Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice [dans la base] B est :
( a 2 -2)
(2a 1 2 ).1/3 = A
(-2a 2 1)
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux valeurs, déterminer la nature géométrique de f.
==> Je trouve 1 et -1 est ce correct ? Et merci de m'indiquer la nature car je ne sais pas.
Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3 rapporté à une base orthonormale directe B. Pour tout a réel on considère l'endomorphisme f dont la matrice [dans la base] B est :
( a 2 -2)
(2a 1 2 ).1/3 = A
(-2a 2 1)
Démontrer qu'il existe deux valeurs de a pour laquelle f est un endomorphisme orthogonal.
Pour chacune de ces deux valeurs, déterminer la nature géométrique de f.
==> Je trouve 1 et -1 est ce correct ? Et merci de m'indiquer la nature car je ne sais pas.
Réponses
-
En effet c'est bien 1 et -1 !
Si a = 1 c'est facile car la matrice est symétrique donc c'est une symetrie orthogonale par rapport (det=-1) à une droite ... (je te laisse trouver )
Si a=-1 ben det=1 donc ca doit etre une rotation par rapport à un axe que je te laisse trouver : R(x)=x et l'angle que je te laisse trouver aussi !
Sauf erreur de ma part
-
La première est bien une symétrie orthogonale mais par rapport à un plan (on dit aussi une réflexion).
La deuxième est une effectivement une rotation.
On détermine la nature notamment grâce au déterminant, mais aussi grâce à la trace, au caractère symétrique de la matrice, etc... . Enfin, on détermine les éléments caractéristiques en cherchant l'ensemble des invariants et dans certains cas, celui des éléments envoyés sur leur opposé. -
pour le a=1 j'ai trouvé une symétrie orthogonale par rapport à un plan d'équation -x+y-z=0. Mais je n'arrive pas à trouver pour a= -1.
On obtient la matrice :
B= 1/3 ( -1 2 -2)
(-2 1 2 )
( 2 2 1 )
B appartient aux orthogonaux mais n'est pas symétrique. donc c'est une rotation mais après je ne sais pas comment faire; merci de votre aide -
je trouve O égale a + ou - arccos(-1/3) et vecteur =(0,1,1) est ce bon? et sinon comment je fais pour avoir le signe par rapport à sinus?
-
Bonjour
pour a=-1 , la partie antisymetrique represente l'application
x->xvectoriel v avec v de composantes (0,-2/3,-2/3)
v= (2V2 /3) u avec u= v/||v||
la rotation est de t=Arcsin((2V2/3) autour de l'axe de vecteur unitaire u
( et petite verif la trace de la matrice est 1 +2Cost = 1/3
ce qui donne Cost= -1/3 et on a bien (-1/3)²+ (2V2/3)²=1/9+8/9=1
(cours: interpreter partie symetrique et antisymetrique d'une rotation..
on en deduit une formule intrinseque de l'image d'un vecteur à l'aide uniquement de t angle de la rotation et u vecteur unitaire definissant l'axe..
utile soit pour decrire une rotation dont on connait la matrice en repére ortnonorme direct bien sur , soit pour trouver sa matrice à partir de t et u..)
Oump. -
Bonjour à tous,
Oumpapah, as-tu des références sur la méthode dont tu parles ?
Je ne vois pas ce que tu nommes parties symétrique et antisymétrique.
Merci. -
Juste pour remonter le sujet, si quelqu'un peut m'éclairer.
-
Oump utilise une méthode qui n'est que rarement vue (malheureusement !) de nos jours.
Il utilise la décomposition de l'application linéaire en partie symétrique + partie antisymétrique et il sait comment elle se caractérise.
Si tu ne sais pas ce dernier point (parce que je suis certain que tu connais le premier), tu ne peux pas utiliser cette méthode.
En voici une autre :
Choisis un vecteur v du plan orthogonal à l'axe de la rotation (dirigé par un vecteur unitaire u). Alors f(v) fait aussi partie de ce plan et le produit vectoriel de v et f(v) est forcément dirigé sur l'axe. Si tu prends v unitaire, alors tu as même mieux que ça car le coefficient de proportionnalité entre v^f(v) et u est exactement égal à sin(theta) où theta est l'angle de la rotation.
Bien entendu, si tu change u en -u, le coefficient de proportionnalité est transformé en sin(-theta)... et c'est normal, ce n'est qu'une question d'orientation. -
On utilise la fait que $M_3(\R)$ est somme directe de l'ensemble des matrices symétriques et de l'ensemble des matrices antisymétriques, on décompose B suivant cette somme directe et ...?
Où puis-je trouver des réféences ?
La deuxième méthode que tu proposes est claire pour moi, et on trouve cos(theta) = v.f(v) (produit scalaire).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 30
+24 Invités