théorie algébrique des nombres

Je connais peu les sommes de Jacobi, mais je m'interroge : une telle égalité est-elle valable dans tous les cas ?

Ce que l'on sait, c'est que si $\pi$ est un élément premier de $\Z[j]$ de norme $N(\pi) = p \equiv 1 \pmod 3$, et si $\chi_{\pi}$ est le caractère cubique associé, alors $J(\chi_{\pi},\chi_{\pi}) = \pi$.

J'espère que cela fera avancer le débat...

Borde.

Oui, cela me semble important...Mais $p$ est-il premier quelconque (et pas seulement $p \equiv 1 \pmod 3$) ? A mon sens, l'hypothèse $\chi_{\pi}(2) = 1$ semble capitale...

Par curiosité, à quel niveau demande-t-on ce type de calcul (votre indicatif semble indiquer que vous êtes en Espagne...) ?

D'autre part, quel est le but de cette égalité ? Il me semble qu'elle n'est pas utile pour la démonstration de la loi de réciprocité cubique. Or, les caractères cubiques sont essentiellement utilisés pour cette loi. Quelle est donc la finalité de ce calcul ?

Borde.

Bon ! J'ai trouvé cet exo dans l'une de mes références...Je vais donc proposé une solution, mais les calculs qui suivent devront être vérifiés.

Je prends les notations suivantes : $\chi$ caractère cubique modulo $p$ et $\psi = (./p)$ caractère quadratique modulo $p$.

1. En utilisant les relations d'orthogonalité de $\chi$, il vient : $$J(\chi, \psi) = \sum_{a=0}^{p-1} \chi(1-a) \psi(a) = \sum_{a=0}^{p-1} \chi(1-a)(\psi(a)+1).$$ Comme il y a exactement $psi(a) + 1$ solutions de l'équation $b^2 \equiv a \pmod p$, on a donc : $$J(\chi, \psi) = \sum_{b=0}^{p-1} \chi(1-b^2).$$

2. On note $\overline {2}$ l'inverse de $2$ modulo $p$, et on effectue le changement d'indice $c = \overline {2}(b+1)$. On constate que $c(1-c) \equiv (\overline {2})^2 (1-b^2) \pmod p$, et ainsi : $$\sum_{c=0}^{p-1} \chi(c(1-c)) = \chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) \times J(\chi, \psi).$$

3. Maintenant, on a, par complète multiplicativité de $\chi$ : $$\sum_{c=0}^{p-1} \chi(c(1-c)) = \sum_{c=0}^{p-1} \chi(c) \chi(1-c) = J(\chi,\chi).$$

{\bf Conclusion}. On a obtenu : $$J(\chi,\chi) = \chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) \times J(\chi, \psi).$$ Il ne reste plus qu'à utiliser l'hypothèse $\chi(2) = 1$ et se rappeler que $\chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) = \left ( \chi ( \overline {2}) \right )^2 = \left ( \overline {\chi(2)} \right )^2.$

Borde.

Bon ! J'ai trouvé cet exo dans l'une de mes références...Je vais donc proposer une solution, mais les calculs qui suivent devront être vérifiés.

Je prends les notations suivantes : $\chi$ caractère cubique modulo $p$ et $\psi = (./p)$ caractère quadratique modulo $p$.

1. En utilisant les relations d'orthogonalité de $\chi$, il vient : $$J(\chi, \psi) = \sum_{a=0}^{p-1} \chi(1-a) \psi(a) = \sum_{a=0}^{p-1} \chi(1-a)(\psi(a)+1).$$ Comme il y a exactement $\psi(a) + 1$ solutions de l'équation $b^2 \equiv a \pmod p$, on a donc : $$J(\chi, \psi) = \sum_{b=0}^{p-1} \chi(1-b^2).$$

2. On note $\overline {2}$ l'inverse de $2$ modulo $p$, et on effectue le changement d'indice $c = \overline {2}(b+1)$. On constate que $c(1-c) \equiv (\overline {2})^2 (1-b^2) \pmod p$, et ainsi : $$\sum_{c=0}^{p-1} \chi(c(1-c)) = \chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) \times J(\chi, \psi).$$

3. Maintenant, on a, par complète multiplicativité de $\chi$ : $$\sum_{c=0}^{p-1} \chi(c(1-c)) = \sum_{c=0}^{p-1} \chi(c) \chi(1-c) = J(\chi,\chi).$$

{\bf Conclusion}. On a obtenu : $$J(\chi,\chi) = \chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) \times J(\chi, \psi).$$ Il ne reste plus qu'à utiliser l'hypothèse $\chi(2) = 1$ et se rappeler que $\chi \left ( (\overline {2})^2 \right ) = \left ( \chi ( \overline {2}) \right )^2 = \left ( \overline {\chi(2)} \right )^2.$


J'ajouterais que je trouve cet exo vraiment difficile compte tenu du niveau indiqué (M1). Mais peut-être me fais-je vieux ?

Borde (triplon. Les 2 messages précédents sont à supprimer. Merci).

De rien, mais vérifie bien ces calculs...

Borde.

excuse-moi, mais je comprends pas exactement comment t'es passé de la première ligne à la deuxième. je suis d'accord avec les solutions de l'équation mais je vois pas comment t'arrives à écrire la somme de cette forme...la partie d'ápres c'est claire.

merci
lisa