Théorie des groupes

P0 · May 2006

Bonjour à tous,

je ne parviens pas à trouver la solution de cet exercice :

Soit G un groupe et H un sous-groupe de G.
On suppose H d'indice infini, c'est-à-dire qu'il existe dans G un suite $(x_n)_{n \in \N}$ telle que les $x_nH$ soient distincts.
Soit des sous-groupes $L_1, \dots, L_p$ tels que $G = H \cup L_1 \cup \cdots \cup L_p$.

Montrer que $G = L_1 \cup \cdots \cup L_p$.

J'avoue que je n'ai aucune idée de démarrage.

Merci d'avance.

Michiel Vermeulen · May 2006

Essaie, pour commencer, p=1
Michiel

P0 · May 2006

Dans le cas p = 1, le résultat est assez facile. H étant d'indice infini, il existe $x \in G$ tel que $xH \neq H$, et donc les classes à gauches $H$ et $xH$ sont deux à deux distinctes.
Il vient donc $xH \subset L_1$, donc $x \in L_1$ (car $x \in xH$), et donc $H = x^{-1}(xH) \in L_1$, d'où finalement $G = L_1$.

P0 · May 2006

Note: dans mon post précédent, je voulais dire que $xH$ et $H$ sont disjoints, et non distincts.

Michiel Vermeulen · May 2006

Maintenant essaie induction, donc assume que c'est prouvé pour n et prouve que c'est vrai pour n+1.

Michiel

P0 · May 2006

Supposons le résultat vrai au rang n, càd, si $L_1, \dots, L_n$ sont des sous-groupes de $G$, et $H$ un sous-groupe d'indice infini alors

$$ G = H \cup \bigcup_{i=1}^n L_i \Rightarrow G = \bigcup_{i=1}^n L_i $$

Montrons que c'est vrai au rang $n+1$. On écrit $G = H \cup \bigcup_{i=1}^{n+1} L_i $.

A mon avis, comme cela n'a pas été fait dans l'initialisation de l'induction, il faut maintenant explicitement utiliser le fait qu'il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $G$ deux à deux distincts correspondant à une infinité de classes à gauche $x_nH$.

Une piste serait à mon avis de dire qu'il existe un $L_i$ contenant une infinité de $(x_n)$, mais ça n'a pas l'air d'aboutir. Tu pourrais me donner une piste Michiel ?

Michiel Vermeulen · May 2006

p,

Je ne pense pas que ça marche avec induction. Essayons différament:

Soit G= H U $L_1$ U ....U $L_p$

Il existe un x dans G, tel que x.H est disjoint de H.

Donc x.H $\subset$ $L_1$ U ....U$L_p$.

Donc x dans un des $L_i$

Et puis.....?

Je pense aussi qu'il faut utiliser qu'il-y-a une infinité de $x_i$ tel que les
$x_i$H sont disjoints.

Désolé!

Michiel

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