injection dans les deux sens entre groupe
Je me demandais si dans la theorie des groupes on avait le theoreme de Cantor-Bernstein :
savoir si étant donne deux groupes A et B
et un morphisme injectif de A dans B et un autre de B dans A
savoir si A et B sont isomorphe
Bon c'est trivialement vrai dans les groupes finis
Le reste je ne sais pas
savoir si étant donne deux groupes A et B
et un morphisme injectif de A dans B et un autre de B dans A
savoir si A et B sont isomorphe
Bon c'est trivialement vrai dans les groupes finis
Le reste je ne sais pas
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Réponses
$$G_1=(Z/2Z)\times (Z/4Z)\times (Z/8Z)\times ...$$
$$G_2=(Z/4Z)\times (Z/8Z)\times (Z/16Z)\times ...$$
Alors $\varphi_1: (x_1,x_2,\dots)\to (0,2x_1,2x_2,\dots)$ injecte $G_1$ dans $G_2$, tandis que $G_2$ s'injecte canoniquement dans $G_1$. Maintenant je ne pense pas que $G_1$ et $G_2$ soient isomorphes, mais quels arguments pour le prouver (ou pour l'infirmer) ?
$\displaystyle{G_1=(\Z/2 \Z)\times (\Z/4 \Z)\times (\Z/8 \Z)\times ...}$
$\displaystyle{G_2=(\Z/4 \Z)\times (\Z/8 \Z)\times (\Z/16 \Z)\times ...}$
Alors $(x_1,x_2,\dots)\to (2x_1,2x_2,\dots)$ injecte $G_1$ dans $G_2$, tandis que l'injection de $G_2$ dans $G_1$ est la translation d'un cran à droite.
Maintenant je ne pense pas que $G_1$ et $G_2$ soient isomorphes, mais quels arguments pour le prouver (ou pour l'infirmer) ?
[Corrigé selon tes indications. AD]
Je me trompe peut-être mais Cantor Bernstein concerne les ensembles, or les groupes sont justement des ensembles !
Donc pour moi Cantor Bernstein s'applique !
Bonne soirée a tous !
La propriete est toutefois fausse pour les groupes infinis. Par exemple, si on prend deux groupes libres a k et k' generateurs, avec k et k' > 1, alors chacun de ces deux groupes s'injecte dans l'autre (par un morphisme de groupes bien entendu).
On prend $G$ le groupe des $(g_1,g_2,..,g_k,..)$ où $g_k \in \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{2^{k+1}Z}}$ et $H$ le groupe des $(h_1,h_2,..,h_k,..)$ où $h_k \in \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{2^{k}Z}}$. (avec l'addition composante par composante bien sûr)
Alors $(g_1,g_2,..,g_k,..)->(0,g_1,g_2,..,g_k,..)$ est injectif de $G$ vers $H$ et $(h_1,h_2,..,h_k,..)->(2h_1,2h_2,,..,2h_k,..)$ est injectif de $H$ vers $G$. Cependant $G$ et $H$ ne sont pas isomorphes car si $g \in G$ vérifie $g+g=0$ alors $g=2g'$ pour un certain $g' \in G$. Mais cela ne marche pas pour $(1,0,0,..,0,..) \in H$
On prend $G$ le groupe des $(g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)$ où $g_k \in \mathbb{Z}/2^{k+1}\mathbb{Z}$ et $H$ le groupe des $(h_1,h_2,\ldots,h_k,\ldots)$ où $h_k \in \mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z}$ (avec l'addition composante par composante bien sûr)
[C'est à dire $H=\Z/2\Z \times\Z/4\Z \times\ldots\times \Z/2^{k}\Z \times\ldots$ et $G=\Z/4\Z \times\Z/8\Z \times\ldots\times \Z/2^{k+1}\Z \times\ldots$. AD]
Alors $(g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)\longmapsto (0,g_1,g_2,\ldots,g_k,\ldots)$ \quad est injectif de $G \rightarrow H$
et \quad $(h_1,h_2,\ldots,h_k,\ldots)\longmapsto (2h_1,2h_2,,\ldots,2h_k,\ldots)$ est injectif de $H \rightarrow G$.
Cependant $G$ et $H$ ne sont pas isomorphes car si $g \in G$ vérifie $g+g=0$ alors $g=2g'$ pour un certain $g' \in G$. Mais cela ne marche pas pour $(1,0,0,\ldots,0,\ldots) \in H$
[Ne sois pas désolé, tu as bien fait d'écrire ton message qui apporte la démo manquante dans le post plus haut. AD]