Exp de Matrice

dark_phoenix · May 2006

Bonjour, au sujet ENS de cette année en analyse num, il y a une question :

"montrer que si H est une matrice Hermitienne, alors exp(iH) est une matrice Hermitienne"

J'aimerais savoir si vous auriez une idée sur comment on peut démontrer un tel résultat, en sachant que H est une matrice carrée (je ne sais pas si ca aide).

Merci d'avance

alekk11 · May 2006

tu peux supposer par exemple $H$ diagonale et voir ce qui se passe .. ensuite $exp(P^{-1}DP)=P^{-1}exp(D)P$, etc ..

nico8 · May 2006

salut,

il y a une petite erreur dans ton enonce : il s'agit de montrer que $exp(iH)$ est une matrice unitaire

nico8 · May 2006

au passage une matrice hermitienne est diagonalisable et ses valeurs propres sont reelles.
donc les valeurs propres de $exp(iH)$ seront les $e^{i\lambda}$, qui ne sont reelles que si $\lambda=0 [\pi]$
donc $exp(iH)$ n'est hermitienne que si cette condition est verifiee pour toutes les valeurs propres de $H$

dark_phoenix · May 2006

" il s'agit de montrer que est une matrice unitaire "

Oui en effet j'ai mal recopié. :-)

Sinon le démontrer d'abord pour une matrice diagonale était ce qu'il fallait faire,j'y avais pensé au moment de l'épreuve mais j'ai bloqué sur je ne sais pas quoi, c'est bizzare. Apres on généralise pour une matrice hermitienne quelconque en la diagonalisant .

Merci de vos réponses :-)

John-John · May 2006

Ces notions ne sont plus au programme : matrice hermitienne, unitaire, réduction {\bf unitaire} des matrices hermitienne. Le pb comblait-il ces lacunes ?

Sinon, à tant faire que de sortir du programme : si $U=\text{e}^{\text{i}H}$, on montre directement que $U^*U=\text{Id}$, parce que $H$ commute avec $H^*=H$.

Une âme compatissante pourrait-elle numériser le sujet ?

Merci, j_j

dark_phoenix · May 2006

Tiens cadeau le sujet de cette année a l'ENS, analyse numérique :

j'ai personnellement trouvé les parties 2 et 3 corsées.

roro3 · May 2006

en supplement voici les deux autres epreuves
<BR>
<BR>sujet de proba immonde et le sujet d'analyse assez classique ressemblant bcp a une epreuve d'agreg de ces dernieres années<BR>