Exp de Matrice
dans Algèbre
Bonjour, au sujet ENS de cette année en analyse num, il y a une question :
"montrer que si H est une matrice Hermitienne, alors exp(iH) est une matrice Hermitienne"
J'aimerais savoir si vous auriez une idée sur comment on peut démontrer un tel résultat, en sachant que H est une matrice carrée (je ne sais pas si ca aide).
Merci d'avance
"montrer que si H est une matrice Hermitienne, alors exp(iH) est une matrice Hermitienne"
J'aimerais savoir si vous auriez une idée sur comment on peut démontrer un tel résultat, en sachant que H est une matrice carrée (je ne sais pas si ca aide).
Merci d'avance
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Réponses
il y a une petite erreur dans ton enonce : il s'agit de montrer que $exp(iH)$ est une matrice unitaire
donc les valeurs propres de $exp(iH)$ seront les $e^{i\lambda}$, qui ne sont reelles que si $\lambda=0 [\pi]$
donc $exp(iH)$ n'est hermitienne que si cette condition est verifiee pour toutes les valeurs propres de $H$
Oui en effet j'ai mal recopié. :-)
Sinon le démontrer d'abord pour une matrice diagonale était ce qu'il fallait faire,j'y avais pensé au moment de l'épreuve mais j'ai bloqué sur je ne sais pas quoi, c'est bizzare. Apres on généralise pour une matrice hermitienne quelconque en la diagonalisant .
Merci de vos réponses :-)
Sinon, à tant faire que de sortir du programme : si $U=\text{e}^{\text{i}H}$, on montre directement que $U^*U=\text{Id}$, parce que $H$ commute avec $H^*=H$.
Une âme compatissante pourrait-elle numériser le sujet ?
Merci, j_j
j'ai personnellement trouvé les parties 2 et 3 corsées.
<BR>
<BR>sujet de proba immonde et le sujet d'analyse assez classique ressemblant bcp a une epreuve d'agreg de ces dernieres années<BR>
mais j'ai pas trouve la partie 2 si dure que ca
j_j