projection orthogoanle

jp8 · May 2006

Bonjour,

Je cherche la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale de $\R^4$ sur $F$ le sev d'équations : $x_1+x_2+x_3+x_4=0,x_1-x_2+x_3-x_4=0$.
J'ai trouvé une solution en cherchant une base de $F$, une base de son supplémentaire orthogonal et en décomposant un vecteur sur cette base.

Le corrigé propose ceci, je ne comprends pas d'où viennent les 2 dernières équations :
Soit $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un vecteur et $(X_1,X_2,X_3,X_4)$ son image par cette projection.
Alors $X_1+X_2+X_3+X_4=0,X_1-X_2+X_3-X_4=0,X_1-x_1+x_3-X_3=0,X_2-x_2+x_4-X_4=0$.

Merci de vos explications.

Bruno · May 2006

Bonjour jp.

L'origine des deux premières équations est évidente. En ce qui concerne les deux autres, le vecteur $(1,1,1,1)$ est normal au premier hyperplan définissant $F$, donc à tous les vecteurs de $F$ ; idem pour $(1,-1,1,-1)$. Donc ces deux vecteurs engendrent $F^{\bot}$. Il s'ensuit que le vecteur $\overrightarrow{NM}$ $(N$ désigne l'image de $M)$ ; forme avec ces deux vecteurs un système lié ; on annulant deux des déterminants d'ordre $3$, tu obtiens les deux dernières équations. Si je ne Mabuse...

Bruno

jp8 · May 2006

On écrit la matrice dont les colonnes sont ces trois vecteurs.
Elle est de rang 2,
donc la famille formée de ses 4 lignes est de rang 2, donc le déterminant de 3 quelconques de ces vecteurs est nul, on retrouve bien les équations proposées.
Merci Bruno.

J'ai trouvé une autre méthode plus simple : Soit $e_1=\frac{1}{2}(1,0,-1,0)$ et $e_2=\frac{1}{2}(0,1,0,-1)$, c'est une base orthonormée de $F$, et alors en notant $p$ la projection, $p(x)=\sum_{i=1}^2 e_i$ et hop !

Bruno · May 2006

A un petit $\sqrt 2$ près ça marche.

Bruno

jp8 · May 2006

exact
encore merci

projection orthogoanle

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Bonjour!

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