Dual

le dual d'un espace vectoriel sur un corps K est l'ensemble des forme linéaires sur cet espace vectoriel

Bonjour.

Pour vaudeville. Si tu considère un espace vectoriel réel de dimension finie, toute forme linéaire est bornée sur la boule unité ce qui est une condition nécessaire et suffisante de continuité.

Pour denissovitch.

Le terme de "dual" est utilisé à de multiples occasions ; par exemple, si un ensemble $(E,\prec)$ est ordonné, la relation binaire $\succ$ définie par :$$\forall\,x \ \forall\,y \quad y \succ x \iff x \prec y$$est une relation d'ordre sur $E$ que l'on appelle {\it l'ordre dual} de $\prec$.

Algébriquement, on parle du dual d'un module ou d'un espace vectoriel, il s'agit des formes linéaires définies sur ce module ou cet espace.

En pratique, on travaille avec des coordonnées sans le dire : si ${\cal B} = (e_i)_{1\leq i\leq n}$ est une base de $E$, la base duale $(e_i^*)_{1\leq i\leq n}$ n'est rien d'autre que la familles des {\bf formes coordonnées} qui à un vecteur associe ses coordonnées dans la base $\cal B$.

En géométrie affine, on appelle {\it forme affine} définie sur un espace affine $\cal A$ toute application affine de $\cal A$ dans le corps de base (via sa structure canonique de droite affine). Parallèlement à la notion de base duale, si l'on considère un repère affine, les applications qui, à un point de l'espace, associent ses coordonnées barycentriques (de somme $1$, par exemple) sont des formes affines. Si l'espace affine est de dimension $n$, l'espace de ses formes linéaires est de dimension $n + 1$ et se note $\cal A^*$, on l'appelle le dual de $\cal A$. On définit l'abscisse sur une droite relativement à un bipoint $(O,I)$ comme l'unique forme affine définie sur la droite est prenant en $O$ et $I$ les valeurs $0$ et $1$. Là aussi on traite la théorie des coordonnées de façon symbolique et commode.

Enfin, en géométrie projective de dimension finie, le dual est un espace projectif de même dimension que l'espace et l'on ouvre la porte au passage des points de vue ponctuels aux points de vue tangentiels.

Bruno