Logarithme fonctionnel ?

Guimauve0 · May 2006

Salut

Le $\log$ est un isomorphisme de $(\mathbb{R}_+^*, \times)$ sur $(\mathbb{R}, +)$.

Existe-t-il un tel isomorphisme de $(C^\infty (\R), \circ)$ sur $(C^\infty, +)$ ?

med · May 2006

Salut,

voulez vous dire: existent-ils des fonctions $f$ et $g$ de classe $C^\infty$ tq:
$$fog=f+g$$
L'existence je pense pas !

sauf incompréhension.

med

Guimauve0 · May 2006

Non, je cherche une application $h : C^\infty(\R) \rightarrow C^\infty (\R)$ telle que pour toutes fonctions f et g de classe $C^\infty$, $h(f \circ g)=h(f) + h(g)$.

Guimauve0 · May 2006

Peut-être faut-il ajouter une hypothèse de bijectivité pour les fonctions f et g ?<BR>

alekk11 · May 2006

déja ca ne peut pas être bijectif car si tu prends $f$ $g$ des fonctions constantes, tu vois facilement que $h$ envoie toute constante sur $0$.

Guimauve0 · May 2006

Ouais c'est à cause des fonctions constantes et autres problèmes que je voulais rajouter l'hypothèse de bijectivité des fonctions f et g.

Soient donc f et g bijectives ...

med · May 2006

des fcts qui vérifient h(f(g))=h(f)+h(g)
g=0
f=c'
h=x

sauf incompréhension.

med

Guimauve0 · May 2006

Je cherche une application $h : C^\infty(\R) \rightarrow C^\infty (\R)$ telle que si f et g sont des fonctions bijectives de $\R$ dans $\R$ vérifiant $f \circ g=g \circ f$ alors
\[ h(f \circ g) =h(f) + h(g) \]

Cette relation doit être valable pour tous couple $(f,g)$ vérifiant les hypothèses, pas seulement pour des cas particuliers.

med · May 2006

Càd Trouver $h\in C^\infty$ tq $\forall (f,g)\in(C^\infty)^2$:
$$h(f(g))=h(g(f))=h(f)+h(g)$$
C'est pas évident (pour moi) du tout !

med

samok0 · May 2006

soit f telle que fof = I

h(I)=0
h(ff)=0=2h(f)
donc h(f)=0

le noyau de h n'est pas réduit à l'élément nul
h n'est pas un isomorphisme

f=-x par exemple

S

Alain Debreil · May 2006

Bonsoir

$ (C^\infty (\mathbb{R}), \circ)$ et $ (C^\infty, +)$ ne sont sûrement pas isomorphes, le premier n'est qu'un monoïde alors que le second est un groupe.
Même en se restreignant aux seuls éléments inversibles de $ (C^\infty (\mathbb{R}), \circ)$ c'est à dire aux bijections $C^\infty$, le premier n'est pas commutatif alors que le second l'est.

Alain

will7 · May 2006

Salut tout le monde ,
pour mettre ma petite pierre a l édifice , je pense que ce la n 'est pas possible deja du fait que dans $\R$ l addition et la multiplication sont commutative alors que la composition de fonction ne l est pas !
Ce qui d ailleurs pour moi montre ques les deux espace consodéré ne sont pas isomorphe donc probleme!
En esperant ne pas dire de betise de si bon matin , bonne journée a tous!

Guimauve0 · May 2006

Dommage.

C'est donc seulement possible dans certains cas particuliers, par exemple en considérant le groupe (commutatif !) des fonctions linéaires croissantes (de la forme $x \mapsto \alpha x$ avec $\alpha \in \R^*_+$) :

On pose $h(f)=x. \log f(1)$, d'où $h(f \circ g)=x. \log (f(1) g(1))=h(f) + h(g)$.

Mais c'est de la triche : ça vient seulement du fait que le groupe considéré est isomorphe à $(\R_+^*, \times)$.

Merci à tous.

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