polynome

suckhub · May 2006

bonjour(je ne suis pas sur du niveau)

Le professeur propose à ses élèves de deviner une racine entière d’un polynôme à coefficients entiers P.Un élève : - " Cette racine est-elle 7 ? "Le prof. : - " Non . P(7)=77, et la racine cherchée est un multiple de 7. "Un autre élève propose un entier multiple de 7, mais l’histoire ne dit pas lequel .Le prof. : - " Non . La racine est supérieure à cet entier...

quelle est cette racine?

merci

Yama · May 2006

Commence par écrire que P(X)=(X-7n)Q(X)

et exprime P(7)

bisam · May 2006

P(7)=(7-7n)Q(7)=77 donc (1-n)Q(7)=11.
 Puisque le coefficient dominant de (X-7) est 1, le dividende Q de la division euclidienne de P par X-7 reste à coefficients entiers donc Q(7) est entier.
 
 Or 11 est premier.
 Donc on obtient les 4 solutions suivantes:
 - soit 1-n=1 et Q(7)=11, càd n=0 et donc la racine cherchée est 0 et P vaut par exemple 11X.
 - soit 1-n=-1 et Q(7)=-11, càd n=2 donc la racine vaut 14 et P vaut par exemple 154-11X
 - soit 1-n=11 et Q(7)=1, càd n=-10 donc la racine vaut -70 et P vaut par exemple X+70
 - soit 1-n=-11 et Q(7)=-1, càd n=12 donc la racine vaut 84 et P vaut par exemple 84-X
 
 Si on ne considère dans l'énoncé que des multiples positifs de 7, alors la 2ème phrase devient utile et on élimine les 3 premières solutions.

polynome

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