Dualité et orthogonalité

Bonjour à toutes et à tous. Je viens de consulter un bouiqn d'algèbre dans lequel j'ai trouvé le théorème suivant :

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Soit $E$ un $\K$-e.v de dimension finie et $A_1$ et $A_2$ deux s.e.v. Alors
( i ) $( A_1 + A_2 )^\perp = A_1^\perp \cap A_2^\perp$
( ii ) $( A_1 \cap A_2 )^\perp = A_1^\perp + A_2^\perp$.
Soient $B_1$ et $B_2$ deux s.e.v. de $E^*$. Alors
( iii ) $( B_1 + B_2 )° = B_1 ° \cap B_2 °$
( iv ) $( B_1 \cap B_2 ) = B_1 ° + B_2 °$.

Preuve : Pour montrer chaque assertion, on montre une inclusion triviale puis l'égalité des dimensions.
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Je suis d'accord avec ( ii ) et ( iv ) mais j'arrive à démontrer ( i ) et ( iv ) dans le cas général où l'on ne fait aucune hypothèse quant à la dimension de $E$.
Voici ma démonstration pour ( i ).

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( $u \in ( A_1 + A_2 )^\perp $ ) ssi ( $u( x ) = 0, \forall x \in A_1 + A_2$ ) ssi ( $ u( x ) = 0, \forall x \in A_1 $ et $ u( x ) = 0, \forall x \in A_2 $ ) ssi ( $u \in A_1^\perp + A_2^\perp$ ).
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Je démontre ( iv ) de la même façon.

L'hypothèse selon laquelle $E$ est de dimension finie est-elle superflue pour ( i ) et ( iv ) ou ma démonstration est-elle fausse ?

LE PINGOUIN