système de n équations à n inconnues
Réponses
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J'ai essayé mais je ne trouve pas non plus ... N'y-a-t'il pas d'autres conditions sur les variables: $x_i, x_k$ ou $k$?
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Hélas non si ce n'est que k varie de 1 à n et que a est un nombre donné.
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j'ai du mal à voir le système....
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J'ai jeté un oeil et ça ne m'inspire pas non plus ... En sommant sur tous les k, on obtient une relation qui fait intervenir la somme des carrés des x_i et le carré de la somme des x_i. Mais ça ne nous avance pas ...
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à part que:
$$ x_k (\sum_{i=1}^{N} x_i -x _k) = x_k \sum_{i=1}^{N} x_i - n x_k^2$$
Il faut peut-être se ramener à une forme $(A+B)^2$ ? -
Euh! non j'ai dit une grosse connerie... la somme ne porte pas sur $x_i - x_k$ mais seulement sur $x_i$!
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Pour bobo:
$x_1 (\sum_{i=1}^{n} x_i -x_1)+1*2(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = 9a^2$
$x_2 (\sum_{i=1}^{n} x_i -x_2)+2*3(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = 25a^2$
...
$x_k (\sum_{i=1}^{n} x_i -x_k)+k(k+1)(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (2k+1)^2 a^2$
...
$x_n (\sum_{i=1}^{n} x_i -x_n)+n(n+1)(\sum_{i=1}^{n} x_i)^2 = (2n+1)^2 a^2$ -
En résolvant pour $n=k=2, 3$ et $4$, j'obtiens successivement:
$$n=k=2$$
$$x_1 x_2+2(x_1 + x_2)^2==3^2*a^2$$
$$x_1 x_2+6(x_1 + x_2)^2==5^2*a^2$$
Solutions:
$$x_1=x_2=\pm a$$
$$n=k=3$$
$x_1 (x_2 + x_3) + 2(x_1 + x_2 + x_3)^2==3^2 a^2$
$x_2 (x_1 + x_3) + 6(x_1 + x_2 + x_3)^2==5^2 a^2$
$x_3 (x_1 + x_2) + 12(x_1 + x_2 + x_3)^2==7^2 a^2$
Solutions:
$x_1 = \pm \frac{3a}{\sqrt{5}}$, $x_2 = \pm \frac{a}{\sqrt{5}}$, $x_3 = \pm \frac{a}{2 \sqrt{5}}$
$x_1 = \pm \frac{a}{\sqrt{6}}$, $x_2 = \pm \frac{5a}{\sqrt{6}}$, $x_3 = \pm -\frac{a}{\sqrt{6}}$
$x_1 = \pm \frac{3a}{\sqrt{14}}$, $x_2 = \pm \frac{5a}{2 \sqrt{14}}$, $x_3 = \pm a \sqrt{\frac{2}{7}}$
$$n=k=4$$
$x_1 (x_2 + x_3 + x_4) + 2(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==3^2 a^2$
$x_2 (x_1 + x_3 + x_4) + 6(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==5^2 a^2$
$x_3 (x_1 + x_2 + x_4) + 12(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==7^2 a^2$
$x_4 (x_1 + x_2 + x_3) + 20(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==9^2 a^2$
Solutions (en excluant les termes nulles):
$x_1=\pm -\frac{7a}{\sqrt{15}}$, $x_2=\pm -3 a \sqrt{\frac{3}{5}}$, $x_3=\pm 3 a\sqrt{\frac{3}{5}}$, $x_4=\pm a \sqrt{\frac{5}{3}}$
$x_1 = \pm -\frac{9a}{\sqrt{143}}$, $x_2 = \pm - \frac{7a}{\sqrt{143}}$, $x_3 = \pm - \frac{5a}{\sqrt{143}}$, $x_4 = \pm - \frac{3a}{\sqrt{143}}$ -
$$\prod_{i=1,i \neq k}^{n} x_i x_k + k(k+1) \prod_{i=1}^{n} \dprod_{j=1}^{n} x_i x_k = (2k+1)^2 a^2$$
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Bonsoir,
j'ai la méthode générale pour la résolution. Je vais la rédiger demain. -
Bonjour
Le système de n équations à n inconnues peut s'écrire :
(1) : x_k (S – x_k) + k(k+1) S^2 = (2k+1)^2 a^2
où l’on a posé :
(2) : S = x_1 + x_2 + …. + x_k+ … + x_n
De (1), équation du second degré en x_k, on tire immédiatement l’expression de x_k en fonction de S et de k :
(3) : x_k = S/2 + (2k+1) r_k (rac(S^2 – 4 a^2)
où chacun des n paramètres r_k vaut, au choix, +1 ou -1
Ainsi on obtient 2^n expressions des x_k solutions, en fonction de S et des valeurs choisies pour les r_k.
En faisant la somme des n équations (3) on obtient
(4) : S = nS/2 + U rac(S^2 – 4 a^2)
où
(5) : U = 3 r_1 + 5 r_2 + 7 r_3 + … + (2k+1) r_k + … + (2n+1) r_n
(6) : S^2 = 4 a^2 U^2 /(U^2 – (n/2-1)^2 )
Pour chacun des 2^n choix des r_k on obtient une valeur de U dont on déduit deux valeurs correspondantes de S, puis les valeurs des x_k.
Pour que le calcul soit licite, il faut que les r_k soient tels que :
(7) : U^2 différent de (n/2-1)^2
(8) : S^2 – 4a^2 >= 0
Posons
(9) : V^2 = S^2 – 4 a^2 = 4 a^2 (n/2-1)^2 /(U^2 – (n/2-1)^2)
Les conditions (7) et (8) équivallent à U^2 > (n/2-1)^2 ou lUl > l n/2-1l. -
Bonjour,
j'ai rédigé la réponse à la question posée par jfs. Mais je m'apperçois que GPP29 l'a déjà fait et avec la même méthode.
Il a même été plus loin que moi puisqu'il a précisé des conditions de validité, ce que je n'avais pas fait.
Donc, bravo à GPP29.
Je joins quand même la page que j'avais rédigée : -
Excellent! Merci beaucoup Si vous avez d'autres exercices du même style, n'hésitez pas...
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Bonjour!
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