système de n équations à n inconnues

J'ai jeté un oeil et ça ne m'inspire pas non plus ... En sommant sur tous les k, on obtient une relation qui fait intervenir la somme des carrés des x_i et le carré de la somme des x_i. Mais ça ne nous avance pas ...

Euh! non j'ai dit une grosse connerie... la somme ne porte pas sur $x_i - x_k$ mais seulement sur $x_i$!

En résolvant pour $n=k=2, 3$ et $4$, j'obtiens successivement:
$$n=k=2$$
$$x_1 x_2+2(x_1 + x_2)^2==3^2*a^2$$
$$x_1 x_2+6(x_1 + x_2)^2==5^2*a^2$$

Solutions:
$$x_1=x_2=\pm a$$

$$n=k=3$$
$x_1 (x_2 + x_3) + 2(x_1 + x_2 + x_3)^2==3^2 a^2$
$x_2 (x_1 + x_3) + 6(x_1 + x_2 + x_3)^2==5^2 a^2$
$x_3 (x_1 + x_2) + 12(x_1 + x_2 + x_3)^2==7^2 a^2$

Solutions:
$x_1 = \pm \frac{3a}{\sqrt{5}}$, $x_2 = \pm \frac{a}{\sqrt{5}}$, $x_3 = \pm \frac{a}{2 \sqrt{5}}$

$x_1 = \pm \frac{a}{\sqrt{6}}$, $x_2 = \pm \frac{5a}{\sqrt{6}}$, $x_3 = \pm -\frac{a}{\sqrt{6}}$

$x_1 = \pm \frac{3a}{\sqrt{14}}$, $x_2 = \pm \frac{5a}{2 \sqrt{14}}$, $x_3 = \pm a \sqrt{\frac{2}{7}}$

$$n=k=4$$
$x_1 (x_2 + x_3 + x_4) + 2(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==3^2 a^2$
$x_2 (x_1 + x_3 + x_4) + 6(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==5^2 a^2$
$x_3 (x_1 + x_2 + x_4) + 12(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==7^2 a^2$
$x_4 (x_1 + x_2 + x_3) + 20(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^2==9^2 a^2$

Solutions (en excluant les termes nulles):
$x_1=\pm -\frac{7a}{\sqrt{15}}$, $x_2=\pm -3 a \sqrt{\frac{3}{5}}$, $x_3=\pm 3 a\sqrt{\frac{3}{5}}$, $x_4=\pm a \sqrt{\frac{5}{3}}$

$x_1 = \pm -\frac{9a}{\sqrt{143}}$, $x_2 = \pm - \frac{7a}{\sqrt{143}}$, $x_3 = \pm - \frac{5a}{\sqrt{143}}$, $x_4 = \pm - \frac{3a}{\sqrt{143}}$

Bonsoir,

j'ai la méthode générale pour la résolution. Je vais la rédiger demain.

Bonjour,

j'ai rédigé la réponse à la question posée par jfs. Mais je m'apperçois que GPP29 l'a déjà fait et avec la même méthode.
Il a même été plus loin que moi puisqu'il a précisé des conditions de validité, ce que je n'avais pas fait.
Donc, bravo à GPP29.
Je joins quand même la page que j'avais rédigée :