Théorie des ensembles

bonjour,
hum ... je dirais :

f_A(P(E)) = P(A)
f_B(P(E)) = {X | A inclus ds X inclus ds E} (je ne vois rien de mieux)
f_A^-1(Y) = {Y U X | X inclus ds E - A} pour tout Y inclus dans A
f_B^-1(Y) = {(Y - A) U X | X inclus ds A} pour tout Y contenant A.

Pour apporter une petite précision à ce qu'a répondu Domi, on peut avoir $E$ et $F$ "complètement bijectifs" sans que $E$ et $F$ soient des singletons : mais uniquement dans le cas (un peu dégénéré) suivant : $E=F=\emptyset$.

Par ailleurs, je pense que la notion n'est pas aussi limitée qu'elle en à l'air : en théorie des catégories, on identifie plus volontiers des objets entre lesquels il existe un unique isomorphisme que les objets simplements isomorphes ; et il me semble que ta notion de "bijectivité complête" correspond justement à l'existence d'un isomorphisme unique dans le cas particulier de la catégorie des ensembles.

Ce que je voulais dire, c'est que l'esprit de ta définition est différent, a postériori il s'agit bien de la même chose (dans le cas des ensembles)

bonjour
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<BR>Et que se passe-t-il si on considère E et F espaces topologiques ? On peut alors munir H(E,F) (l'espace des fonctions de E dans F) d'une topologie.
<BR>
<BR>Soit h un sous-ensemble de H, h est ouvert si et seulement si il existe un ouvert v non vide de F tel que l'union des images réciproques de v par toutes les fonctions de h soit un ouvert. Je pense que cela défini bien une topologie dans la mesure où : toute réunion d'ouverts de H est encore ouverte (il suffit de prendre l'union des ouverts v qui est encore un ouvert) et toute intersection finie aussi (de maniere evidente). H est ouvert car l'union des pré-images de F par toutes les fonctions de H donne E, E et F étant ouverts. L'ensemble vide est lui aussi ouvert, il suffit de prendre pour v n'importe quel ouvert puisque son image reciproque par aucune fonction est encore le vide.
<BR>
<BR>On remarque deja que les fonctions continues forment un ouvert de H. Maintenant je me pose la question suivante : si E et F sont équipotent, peut-on imaginer différents cas par exemple B l'ensemble des bijections de E dans F serait dense dans H ?
<BR>
<BR>Bon la pseudo topologie que je viens de construire a été faite en total freestyle donc c'est possible que ce soit n'importe nawak ou que ca n'est qu'un interet tres limité.
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<BR>si qq1 a les idées claires à ce sujet....
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<BR>7-M0u5s<BR>

Oups pardon, j'avais mal lu.