Exercice anneaux (L3)

le dadaiste · May 2006

Bonjour, j'ai un probleme sur cet exercice, je vous livre l'énoncé :

Soit A l'anneau $\Z [x]$

montrer que l'idéal $I=$

J'ai l'intention de le montrer en montrant que $\Z [x]/ I$ est un corps, et donc que I est maximal et ainsi I premier.

J'ai donc posé l'homomorphisme d'anneaux suivant :

$$f: \Z \longrightarrow \Z [x]/ I$$
$$k \longrightarrow k+I$$

- f est bien déféinie (c'est clair).

- f est un home d'anneaux (pareil)

- Kerf = 2$\Z$

Mais je n'arrive pas a montrer que f est surjective!

merci d'avances si quelqu'un peut méclairer

cordialement, le dadaiste.

ludo18 · May 2006

qui est I?

le dadaiste · May 2006

C'est écrit, I = <2,X>.

Par contre il n'y a pas marqué ce qu'il faut faire, à savoir
Montrer que I est premier.

le dadaiste

[Maintenant c'est écrit. md.]

[Utilisateur supprimé] · May 2006

Je dois être à la rue mais ca me semble trivial comme résultat.

Je note $\mathfrak P=\left$. Soit $P_1(X),P_2(X)\in\mathbb Z[X]$ tel que
$$P_1(X)P_2(X)\in\mathfrak P.$$
Alors
$$P_1(X)P_2(X)=2R(X)+XQ(X).$$
On en déduit par exemple que le terme constant de $P_2(X)$ est pair, donc
$$P_2(X)=2a_0+XS(X)\in\mathfrak P.$$

Ca me semble quand meme louche cette affaire!!!!

Joaopa

le dadaiste · May 2006

c'est ce que j'ai fait au début, j'avais dit qu'on faisait R' avec tout ce qu'il y a de degré =< 1, on a donc en identifiant 2ao = P1oP2o, 2 premier donc 2 divise P1o ou P2o , et donc c'est réglé, mais la prof m'a un peu envoyé chier en disant que ce n'est pas rigoureux patati patata et qu'il vaut mieux faire ça !

Cordialement, le dadaiste

Domi · May 2006

Je ne vois tien à redire à la démo de Joaopa ( et c'est rigoureux ) . Celà marche d'ailleurs de la même façon avec $p$ premier à la place de 2 .

Domi

le dadaiste · May 2006

Oui mais je me suis fait engueuler en proposant ça, donc si quelqu'un pouvait juste me dire pourquoi c'est surjectif, ça me ferait plaisir.

le dadaiste

Domi · May 2006

Il me semble que $\Z[X]\/I$ ne contient que deux éléments qui sont les images de 0 et 1 par f donc f est surjective .

Domi

Vincent · May 2006

En fait, il est plus facile de faire dans l'autre sens.

Tu as le morphisme d'anneau $\pi$ la surjection canonique de $\Z$ dans $\Z/2$.

Pour un polynôme à coefficient dans $\Z$ tu definis le morphisme
$P$ associe la classe de $P(0)$ modulo 2 : c'est le composé du morphisme d'anneau $P \mapsto P(0)$ et de $\pi$. (Si tu connais la PU des polynômes : cela revient simplement à dire : j'envoie X sur 0 et n sur n mod 2.)

C'est evidemment surjectif (composé de deux morphismes surjectifs) et le noyau est l'idéal engendré par 2 et X (la il faut calculer un peu).

Vincent

Alain Debreil · May 2006

Bonsoir le Dadaiste

Tout a déjà été écrit, mais pour la surjection de ton morphisme $f$ :
Tu prends $P(x)\in\Z[x]$ quelconque, tu sépares le terme constant : $P(x)=a+xQ(x)$.
Alors $P = f(a)$ puisque $xQ(x) \in I$, donc $f$ est surjective.

Exercice anneaux (L3)

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