Equivalence algèbre linéaire
Bonjour,
Je planche sur l'exo suivant :
Soit $E$ et $F$ deux $\R$-ev de dimension finie et $f,\,g\in
\mathcal L(E,\,F)$. \ppe
Montrer que :
$$rg(f+g)=rg(f)+rg(g)\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} Im f\cap Im
g=\{0\} \\ \ker f+\ker g=E \end{array}\right. $$
Déjà je voudrais une démonstration de ça. Par ailleurs, comme la conclusion $rg(f+g)=rg(f)+rg(g)$ résulte facilement de l'égalité :
$$Im f\oplus Im g=Im(f+g)$$ je me demande si
$$Im f\oplus Im g=Im(f+g)\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} Im f\cap Im g=\{0\} \\ \ker f+\ker g=E \end{array}\right. $$
{\bf sans hypothèse de dimension}.
Merci pour vos réponses.
Je planche sur l'exo suivant :
Soit $E$ et $F$ deux $\R$-ev de dimension finie et $f,\,g\in
\mathcal L(E,\,F)$. \ppe
Montrer que :
$$rg(f+g)=rg(f)+rg(g)\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} Im f\cap Im
g=\{0\} \\ \ker f+\ker g=E \end{array}\right. $$
Déjà je voudrais une démonstration de ça. Par ailleurs, comme la conclusion $rg(f+g)=rg(f)+rg(g)$ résulte facilement de l'égalité :
$$Im f\oplus Im g=Im(f+g)$$ je me demande si
$$Im f\oplus Im g=Im(f+g)\quad \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} Im f\cap Im g=\{0\} \\ \ker f+\ker g=E \end{array}\right. $$
{\bf sans hypothèse de dimension}.
Merci pour vos réponses.
Réponses
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Sans hypothèse de dimension, je pense que tu auras du mal à montrer que ker f + ker g=E dans l'implication de gauche à droite.
-
Pourquoi tu penses ça ?
-
Bonjour Michal,
Pour obtenir des égalités ou des inégalités avec le rang, on n'a pas d'autres choix que d'effectuer un passage obligé par "la dimension" de $Imf$, avec ensuite des considérations d'inclusion ou d'égalité d'ensemble pour obtenir des inégalités ou des égalités.
J'ai fait pas mal de petits exos comme celui sur lequel tu planches, et c'est la synthèse que j'en ai retirée. Je suis donc de l'avis de Bisam.
Cordialement, -
Mon avis tenait plus au fait qu'en cas de dimension infinie, il n'y a aucun lien entre l'image et le noyau d'un endomorphisme.
Par conséquent l'hypothèse du membre de gauche ne fournit aucun renseignement sur les noyaux... et je vois mal comment on pourrait conclure que la somme des 2 fait E.
Je n'ai pas encore de contre-exemple, mais je vais chercher. -
Je remonte ce message, juste pour dire que je ne trouve pas de contre-exemple non plus.
-
Je n'ai pas le temps de tout regarder en détail, mais voilà une idée :
On prend Pour E et F l'ensemble des applications de $\R$ dans $\R$, pour f l'application linéaire qui associe à une application $\phi$ l'application constante égale à $\phi (0)$ et pour g l'application linéaire qui associe à une application $\phi$ l'application x--> $\x phi (x)$.
Autant je sens que $$Im f\oplus Im g=Im(f+g)$$ devrait être vrai, autant je ne vois pas pourquoi on aurait ker(f) + ker(g) = F
Maintenant, je peux me tromper.
Cordialement -
"pour g l'application linéaire qui associe à une application $ \phi$ l'application x-> $ \x phi (x)$. "
Faute de frappe?
Je suppose qu'il faut lire $x\longrightarrow x\phi(x)$?
Dans ce cas, on a clairement $Imf\oplus Img=E$, et $Im(f+g)=E$ aussi car si $\phi$ est une application, on prend l'application définie par $\psi(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x}-\phi(0)$ si $x\neq 0$, et $\psi(0)=\phi(0)$, qui a pour image $\phi$.
Par contre, $Ker(f)$ est l'ensemble des application nulles en $0$, et $Ker(g)$ est l'ensemble des applications nulles partout sauf en $0$, la somme des deux espaces étant clairement $E$ on n'a apparemment pas un contre exemple.
Sauf erreur grossière évidemment.
Je n'ai pas trouvé de contre exemple facile. -
Effectivement, corentin, c'est une faute de frappe.
Par contre, je ne trouve pas que (f+g) ($\psi(x)$) redonne $\phi$, sauf pour x = 0 (il y a en trop un $ x \times \phi (0) $) -
Oui, en fait j'ai écrit les calculs directement dans la fenêtre de message, et j'avais commencé par écrire $\frac{\phi(x)}{x}-\phi(0)$ avant de m'apercevoir que ça ne marchait pas, j'ai corrigé en mettant un $\phi(0)$ au numérateur, mais j'ai oublié de l'enlever hors de la fraction.
Si on l'enlève, ça devient correct non? -
Oui, tu as raison, ça marche. J'aurais dû y penser.
-
Serait-ce si difficile ? C'est peut-être vrai après tout ...<BR>
-
Sans conviction, j'ai essayé de démontrer... mais je n'ai pas abouti non plus (mais mes compétences sont peut-être en cause
-
Je n'ai pas envie que ce fil meure, avant d'avoir la réponse. Cela dit, il va peut-être falloir que je m'y résigne...
-
J'aimerai aussi avoir la réponse, ça a l'air terriblement bête pourtant.
-
Bon bah finalement, ça a l'air de marcher. Sauf erreur de ma part :
Soit $x\in E$. On a $f(x)+g(-x)\in Im f + Im g$
Or $Im f+Im g=Im(f+g)$ donc $$f(x)+g(-x)=f(x')+g(x')$$ avec $x'\in E$. Ainsi :
$$f(x-x')=g(x'+x)\in Im f\cap Im g=\{0\}$$
On a donc $x-x'\in \ker f$ et $x'+x\in \ker g$, d'où en sommant $2x\in \ker f+\ker g$, puis $x\in \ker f+\ker g$...
C'était effectivement extrêmement bête... Merci à Corentin pour sa suggestion qui a débloqué mes neurones... -
De rien.
Ca a l'air correct (j'espère) et c'est très sympa comme résultat.
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Bonjour!
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