espace euclidien
bonjour tout le monde
je vous écris car j'ai un exo a faire mais le probleme c'est que je n'y arrive pas du tout.
en fait, je doit montrer que dans un espace vectoriel euclidien de dim n, il n'est pas possible de trouver n+2 vecteurs v0,v1...vn tels que pour tout i,j appartenant a {0,1...,n+1}, i différent de j implique vi*vj strictement inférieur a 0.
le prof nous a dit de faire une récurrence et aussi que c'est un excercice extrement dur!
j'aiemrais que quelqu'un maide a faire l'initialisation car je n'y arrive meme pas!
merci d'avance!
je vous écris car j'ai un exo a faire mais le probleme c'est que je n'y arrive pas du tout.
en fait, je doit montrer que dans un espace vectoriel euclidien de dim n, il n'est pas possible de trouver n+2 vecteurs v0,v1...vn tels que pour tout i,j appartenant a {0,1...,n+1}, i différent de j implique vi*vj strictement inférieur a 0.
le prof nous a dit de faire une récurrence et aussi que c'est un excercice extrement dur!
j'aiemrais que quelqu'un maide a faire l'initialisation car je n'y arrive meme pas!
merci d'avance!
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Réponses
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<BR>Une idée comme ça, je ne prétends pas avoir la science infuse sur les espaces vectoriels euclidiens, mais peut-être qu'un raisonnement par l'absude peut aboutir.
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<BR>En effet, si tu nies la partie de ta proposition (B) : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img1.png" ALT="$ v_i.v_j<0$"></SPAN> tu obtiens alors non (B) à savoir <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img2.png" ALT="$ v_i.v_j\geq0$"></SPAN>. On a peut alors avoir l'égalité : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img3.png" ALT="$ v_i.v_j = 0$"></SPAN>. Ce qui signifie dans un ev euclidien (donc muni d'un produit scalaire à définir.) que les vecteurs <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img4.png" ALT="$ v_i$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="17" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img5.png" ALT="$ v_j$"></SPAN> sont orthogonaux.
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<BR>Cela ne mène peut-être nul part.
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<BR>A+<BR>
Tu vérifies que ça ne marche pas pour n=1
Tu supposes que c'est vrai en dim n-1
Et en dim n tu utilise une "bonne" projection qui te permettra de conclure !
V0,V1,...Vn sont liés : $\sum_{i=0}{n} \lambda_iv_i=0 $ avec les $\lamda_i$ pas tous nuls. Si on les suppose tous de même signe, par exemple 0$ (soit I leur ensemble) et des $\lamda_i
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<BR>Clotho , juste pour revenir sur un détail :
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<BR>Tu dis :
<BR>"En effet, si tu nies la partie de ta proposition (B) : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img1.png" ALT="$ v_i.v_j<0$"></SPAN> tu obtiens alors non (B) à savoir <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img2.png" ALT="$ v_i.v_j\geq0$"></SPAN>"
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<BR>D'un point de vue logique ( et avec plus de rigueur dans la définition de ta poroposition (B) ... i.e <B>pour tout couple <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="35" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img3.png" ALT="$ (i,j)$"></SPAN>de... tels que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="37" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img4.png" ALT="$ i \neq j$"></SPAN>...</B>) , non (B) te correspond pas tout à fait à ce que tu énonces. A moins que tu ais été autant rigoureux sur la définition de non (B) que sur la proposition (B) elle même?<BR><BR><BR>
J'avoue n'avoir cherché à définir proprement ma proposition (B.), car je ne croyais pas beaucoup en mon idée.
Aussi, j'admets volontier que ma négation n'est pas très rigoureuse, voire éronnée.
Cordialement,
Clotho.
L'objectif est bien ici de montrer que dans un espace vectoriel {\bf euclidien} de dimension finie $n$ , pour toute famille de $n+2$ vecteurs , {\bf il existe} au moins un couple de deux vecteurs distincts dont le produit scalaire est au moins égal à $0$.
Wa fawqa koulli dhî 'ilmin 'alîm. [Traduction :Dans toute science ,il y a un savant au dessus de tout savant]