espace euclidien

salas · May 2006

bonjour tout le monde
je vous écris car j'ai un exo a faire mais le probleme c'est que je n'y arrive pas du tout.
en fait, je doit montrer que dans un espace vectoriel euclidien de dim n, il n'est pas possible de trouver n+2 vecteurs v0,v1...vn tels que pour tout i,j appartenant a {0,1...,n+1}, i différent de j implique vi*vj strictement inférieur a 0.
le prof nous a dit de faire une récurrence et aussi que c'est un excercice extrement dur!
j'aiemrais que quelqu'un maide a faire l'initialisation car je n'y arrive meme pas!

merci d'avance!

clotho...0 · May 2006

Bonsoir Salas,
 
 Une idée comme ça, je ne prétends pas avoir la science infuse sur les espaces vectoriels euclidiens, mais peut-être qu'un raisonnement par l'absude peut aboutir.
 
 
 En effet, si tu nies la partie de ta proposition (B) : <IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img1.png" ALT="$ v_i.v_j<0$"> tu obtiens alors non (B) à savoir <IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img2.png" ALT="$ v_i.v_j\geq0$">. On a peut alors avoir l'égalité : <IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img3.png" ALT="$ v_i.v_j = 0$">. Ce qui signifie dans un ev euclidien (donc muni d'un produit scalaire à définir.) que les vecteurs <IMG WIDTH="16" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img4.png" ALT="$ v_i$"> et <IMG WIDTH="17" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87761/cv/img5.png" ALT="$ v_j$"> sont orthogonaux.
 
 Cela ne mène peut-être nul part.
 
 A+

brux0 · May 2006

pour $n=1$, si $a$, $b$, $c$ sont les coordonnées de trois vecteurs dans une base orthonormée, on ne peut pas avoir simultanément $ab

mocket · May 2006

pour brux: ...ce qui confirme donc l'exo posé.

Géhaire · May 2006

Il faut raisonner sur la dimension de l'espace en question !

Tu vérifies que ça ne marche pas pour n=1

Tu supposes que c'est vrai en dim n-1

Et en dim n tu utilise une "bonne" projection qui te permettra de conclure !

chris26 · May 2006

V0,V1,...Vn sont liés : $\sum_{i=0}{n} \lambda_iv_i=0 $ avec les $\lamda_i$ pas tous nuls. Si on les suppose tous de même signe, par exemple 0$ (soit I leur ensemble) et des $\lamda_i

chris26 · May 2006

V0,V1,...Vn sont liés : $\sum_{i=0}{n} \lambda_iv_i=0 $ avec les $\lamda_i$ pas tous nuls. Si on les suppose tous de même signe, par exemple 0$ (soit I leur ensemble) et des $\lamda_i

chris26 · May 2006

Plus rien ne marche?

V0,V1,...Vn sont liés : $\sum_{i=0}{n} \lambda_iv_i=0 $ avec les $\lamda_i$ pas tous nuls. Si on les suppose tous de même signe, par exemple 0$ (soit I leur ensemble) et des $\lamda_i

Jabir · May 2006

Bonsoir,
 
 Clotho , juste pour revenir sur un détail :
 
 Tu dis :
 "En effet, si tu nies la partie de ta proposition (B) : <IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img1.png" ALT="$ v_i.v_j<0$"> tu obtiens alors non (B) à savoir <IMG WIDTH="64" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img2.png" ALT="$ v_i.v_j\geq0$">"
 
 D'un point de vue logique ( et avec plus de rigueur dans la définition de ta poroposition (B) ... i.e pour tout couple <IMG WIDTH="35" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img3.png" ALT="$ (i,j)$">de... tels que <IMG WIDTH="37" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/15/87771/cv/img4.png" ALT="$ i \neq j$">...) , non (B) te correspond pas tout à fait à ce que tu énonces. A moins que tu ais été autant rigoureux sur la définition de non (B) que sur la proposition (B) elle même?

Alain Debreil · May 2006

$v_0,v_1,\ldots,v_n$ sont liés : $\sum\limits_{i=0}^{n} \lambda_iv_i=0 $ avec les $\lambda_i$ pas tous nuls. Si on les suppose tous de même signe, par exemple 0$ (soit $I$ leur ensemble) et des $\lambda_i

clotho...0 · May 2006

Bonjour Salas,

J'avoue n'avoir cherché à définir proprement ma proposition (B.), car je ne croyais pas beaucoup en mon idée.

Aussi, j'admets volontier que ma négation n'est pas très rigoureuse, voire éronnée.

Cordialement,
Clotho.

clotho...0 · May 2006

un oubli de ma part, donc Jabir (que je salue au passage) a parfaitement raison de souligner que mon énoncé est bancal, tout comme mon idée d'ailleurs.

Jabir · May 2006

Ce que je voulais dire Clotho , c'est que la négation de la proposition ( il n'est pas possible de trouver .... etc ...voir premier post ) te donne le théorème initial.

L'objectif est bien ici de montrer que dans un espace vectoriel {\bf euclidien} de dimension finie $n$ , pour toute famille de $n+2$ vecteurs , {\bf il existe} au moins un couple de deux vecteurs distincts dont le produit scalaire est au moins égal à $0$.

Wa fawqa koulli dhî 'ilmin 'alîm. [Traduction :Dans toute science ,il y a un savant au dessus de tout savant]

espace euclidien

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