Série formelle et fraction rationnelle
bonjour à tous
Je donne actuellement des cours particulier à un étudiant de L1. Dans un de ses exercices on demande de :
On pose $f(n,k)=\sum_{n_1+...+n_k=n / (n_1,...,n_k) \in \N^k}^{}n_1.n_2...n_k$.
On montre alors que f(n,k) est le coefficient du terme de degré n dans le developpement en série formelle de $(\sum_{j>0}^{}i.X^i)^k$. Jusque là tout va bien. Ensuite on montre facilement que :
$$\sum_{n>0}^{}f(n,k).X^n=\frac{X^k}{(1-X)^{2k}}$$
Enfin on demande d'en déduire que $f(n,k)=\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!.(2k-1)!}$.
Et là honnetement je ne vois pas. J'ai beau triturer toutes les expressions dans tous les sens je n'obtiens que des trucs horribles.
J'ai essayé en écrivant : $\frac{X^k}{(1-X)^{2k}}=(\frac{1}{1-X}-\frac{1}{1-X^2})^k$
mais ca ne donne rien. Et je dois avouer que ces chapitres sont bien loins pour moi donc doit sans doute y avoir une astuce qui permet de conclure rapidement. Alors si quelqu'un la voit, qu'il me fasse signe ...
Merci d'avance
T-Mouss
Je donne actuellement des cours particulier à un étudiant de L1. Dans un de ses exercices on demande de :
On pose $f(n,k)=\sum_{n_1+...+n_k=n / (n_1,...,n_k) \in \N^k}^{}n_1.n_2...n_k$.
On montre alors que f(n,k) est le coefficient du terme de degré n dans le developpement en série formelle de $(\sum_{j>0}^{}i.X^i)^k$. Jusque là tout va bien. Ensuite on montre facilement que :
$$\sum_{n>0}^{}f(n,k).X^n=\frac{X^k}{(1-X)^{2k}}$$
Enfin on demande d'en déduire que $f(n,k)=\frac{(n+k-1)!}{(n-k)!.(2k-1)!}$.
Et là honnetement je ne vois pas. J'ai beau triturer toutes les expressions dans tous les sens je n'obtiens que des trucs horribles.
J'ai essayé en écrivant : $\frac{X^k}{(1-X)^{2k}}=(\frac{1}{1-X}-\frac{1}{1-X^2})^k$
mais ca ne donne rien. Et je dois avouer que ces chapitres sont bien loins pour moi donc doit sans doute y avoir une astuce qui permet de conclure rapidement. Alors si quelqu'un la voit, qu'il me fasse signe ...
Merci d'avance
T-Mouss
Réponses
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Bonsoir,
En dérivant 2k-1 fois l'identité de la somme de la série géométrique
il vient 1/ ( 1-X)^2k = sum( binomial(n+2k-1,2k-1)*X^n
On multiplie par X^k, un changement d'indice et c'est gagné.
l'indice de la somme est pour n>=k. Amicalement -
bonjour
il faut partir du développement du binôme négatif (pour x < 1) :
1/(1-x)^2k = 1 + (2k;1)x + (2k+1;2).x² + (2k+1;3).x^3 +......
tu multiplies par le monôme x^k et le développement devient :
x^k/(1-x)^2k = x^k + (2k;1)x^(k+1) + (2k+1;2).x^(k+2)+....+(n+2k-1;n-k).x^n+.....
le coefficient du monôme x^n est justement f(n,k)=(n+2k-1)!/(n-k)!(2k-1)!
cordialement -
merci beaucoup....
effectivement ce n'est pas vraiment évident, contrairement aux précédents exercices de son TD.
Mais bon l'essentiel est que je vois comment procéder.
t-mouss
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Bonjour!
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