Je crois que l'énoncé est vrai. C'est une conséquence du théorème de Lagrange: si (G,.) est un groupe fini alors le cardinal de tout sous-groupe de G divise le cardinal de G. Il faut ensuite appliquer le théorème au sous-groupe engendré par g (g étant un élément du groupe).
On a aussi une sorte de réciproque intéressante si G est abélien :
Soit G un groupe abélien fini tel que pour tout $x \in G$ , $x^n = e$
Alors il existe un entier $k \in \N$ tel que
$Card G$ divise $n^k$
En particulier, un groupe tel que $\forall x\in G , x^p=e$ avec $p$ premier est un p-groupe.
D'abord cette propriété est vraie même si le groupe n'est pas commutatif.
En effet, si $q \neq p$ est un diviseur premier de l'ordre de $G$, Cauchy affirme l'existence d'un élément d'ordre $q$ dans $G$, contredisant l'hypothèse.
Réponses
Fr.
On a aussi une sorte de réciproque intéressante si G est abélien :
Soit G un groupe abélien fini tel que pour tout $x \in G$ , $x^n = e$
Alors il existe un entier $k \in \N$ tel que
$Card G$ divise $n^k$
En particulier, un groupe tel que $\forall x\in G , x^p=e$ avec $p$ premier est un p-groupe.
Lebesgue
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D'abord cette propriété est vraie même si le groupe n'est pas commutatif.
En effet, si $q \neq p$ est un diviseur premier de l'ordre de $G$, Cauchy affirme l'existence d'un élément d'ordre $q$ dans $G$, contredisant l'hypothèse.
Alain