l'ordre d'un groupe

alice3 · May 2006

Bonsoir,

J'aimerais savoir si l'énoncé suivant est vrai ou faux.

Soit G un groupe à n éléments. Alors pour tout g dans G, g^n = e.

merci

ryo · May 2006

C'est vrai. Regarde du coté du théorème de Lagrange

Fr1 · May 2006

Je crois que l'énoncé est vrai. C'est une conséquence du théorème de Lagrange: si (G,.) est un groupe fini alors le cardinal de tout sous-groupe de G divise le cardinal de G. Il faut ensuite appliquer le théorème au sous-groupe engendré par g (g étant un élément du groupe).

Fr.

alice3 · May 2006

Merci pour les réponses! En effet c'est bien ce que j'ai pensé, et merci de m'avoir rassuré.

Lebesgue0 · May 2006

Bonjour,

On a aussi une sorte de réciproque intéressante si G est abélien :
Soit G un groupe abélien fini tel que pour tout $x \in G$ , $x^n = e$
Alors il existe un entier $k \in \N$ tel que
$Card G$ divise $n^k$
En particulier, un groupe tel que $\forall x\in G , x^p=e$ avec $p$ premier est un p-groupe.

Lebesgue

ryo · May 2006

Pour des especes de reciproque il y a le theoreme de Cauchy ou en plus complet les theoremes de Sylow

Lebesgue0 · May 2006

Je ne vois pas comment le théorème de Cauchy ou ceux de Sylow montre ce que j'ai dit, en tout cas de manière évidente.

Alain Debreil · May 2006

Bonjour Lebesgue

>

D'abord cette propriété est vraie même si le groupe n'est pas commutatif.
En effet, si $q \neq p$ est un diviseur premier de l'ordre de $G$, Cauchy affirme l'existence d'un élément d'ordre $q$ dans $G$, contredisant l'hypothèse.

Alain

l'ordre d'un groupe

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