résolution d'équation
bonjour,
j'ai deux questions indépendantes et je serai infiniment reconnaissante si quelqu'un peut m'aider.
La premiere question est comment on note en général l'ensemble des matrices antisymetriques.
La seconde est : si on a l'équation suivante à deux inconnues
$a \cos \theta ^{2}+b \sin \theta ^{2} = f$, qui est vraie pour tout $\theta$, est-ce possible de donner deux valeurs particulieres à $\theta$ qui me donnent un systeme de deux equations à deux inconnues et par suite je peux alors trouver mes inconnues a et b? (f connu)
Merci d'avance
j'ai deux questions indépendantes et je serai infiniment reconnaissante si quelqu'un peut m'aider.
La premiere question est comment on note en général l'ensemble des matrices antisymetriques.
La seconde est : si on a l'équation suivante à deux inconnues
$a \cos \theta ^{2}+b \sin \theta ^{2} = f$, qui est vraie pour tout $\theta$, est-ce possible de donner deux valeurs particulieres à $\theta$ qui me donnent un systeme de deux equations à deux inconnues et par suite je peux alors trouver mes inconnues a et b? (f connu)
Merci d'avance
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Réponses
Donc si je traduis ton énoncé , par surjectivité de l'application :
$ \R \rightarrow [-1,1]$ , $ x \rightarrow cos (x^2)$ , cela signifie que pour tout réel $\lambda \in [-1,1]$ , on a $ \lambda (a-b)= f-b$ , donc nécessairement $a=b=f$.
J'ai supposé (sinon il faudrait que tu expliques plus précisément ce que tu veux) que $a,b,f$ étaient des réels..
Wa fawqa koulli dhî 'ilmin 'alîm. [Traduction :Dans toute science ,il y a un savant au dessus de tout savant]
Jabir MOUHSINI.
Moi je decreterais au debut le l'exo :
soit $M_n(\R)-=\{A \in M_n(\R) | tA+A=0\}$ l'ensemble des matrices reeles antisymetriques
(le t c'est pour transposee mais je sais pas ou il est)
Mais pour la resolution de l'equation, en fait mes inconnues sont a et b et f est connue, donc pour pouvoir trouver a et b je dois avoir un systeme de deux equations pour cela l'equation etant vraie pour tout theta je peux donc fixer deux valeurs particulieres de theta qui me donnent les deux equations de mon systeme, ma question est si cette methose est valable ou pas?
Merci d'avance
Oublie la réponse de Jabir qui semble confondre le cos de x² et le carré de cos x. Ta méthode est correcte, à condition de choisir deux valeurs de $\theta$ qui ne redonnent pas le même résultat pour le sin et le cos.
C'est une évidence : Si c'est vrai pour toute valeur, c'est vrai pour deux d'netre elles.
Malheureusement, il reste à vérifier que les valeurs trouvées pour a et b conviennent. Et là, je doute fort que, en dehors du cas f=0 tu n'ais pas de solution. En effet, avec une troisième valeur de $\theta$ , tu obtiens une nouvelle équation dont les valeurs précédentes de a et b ne sont pas solution !
Cordialement
a = f
b = f
Mais si $$\theta = \sqrt{3 \frac{\pi}{2}}$, j'obtiens aussi -b = f
Donc soit f = 0 et la solution est a=b=0 (solution évidente), soit f n'est pas nul et il n'y a pas de solution.
Cependant, j'ai un doute : ne serait - ce pas :
a sin² x + b cos ² x = f
Auquel cas, la solution de Jabir est logique.
Cordialement
a = f
b = f
Mais si $$\theta = \sqrt{3 \frac{\pi}{2}}$, j'obtiens aussi -b = f
Donc soit f = 0 et la solution est a=b=0 (solution évidente), soit f n'est pas nul et il n'y a pas de solution.
Cependant, j'ai un doute : ne serait - ce pas :
a sin² x + b cos ² x = f
Auquel cas, la solution de Jabir est logique.
Cordialement
a = f
b = f
Mais si $$\theta = \sqrt{3 \frac{\pi}{2}}$$, j'obtiens aussi -b = f
Donc soit f = 0 et la solution est a=b=0 (solution évidente), soit f n'est pas nul et il n'y a pas de solution.
Cependant, j'ai un doute : ne serait - ce pas :
a sin² x + b cos ² x = f
Auquel cas, la solution de Jabir est logique.
Cordialement
[Je les ai effacés. Merci de faire l'effort d'écrire en LaTeX. AD]
Gerard , merci mais je n'ai pas confondu.
Je reprends :
Par surjectivité des applications :
$ \mathbb{R}\rightarrow [-1,1]$ , $ x \rightarrow cos (x^2)$ et $ \mathbb{R}\rightarrow [-1,1]$ , $ x \rightarrow sin (x^2)$.
L' énoncé signifie que pour tout couple $ (\lambda , \mu) \in [-1,1] \times[-1,1]$ , on a
$ \lambda.a+ \mu. b= f$ , donc ceci est encore valable , {\bf en particulier} , lorsque $\mu = \lambda -1$ pour tout $\lambda$ de $[0,1]$.
Ainsi , pour tout $\lambda \in [0,1]$ ,$ \lambda (a-b)= f-b$ . Je ne fais que travailler qu'avec les {\bf conditions nécessaires} d'existence de la solution.
En fait , on a ici $a=b=f=0$. Il suffit d'écrire , que de même , pour tout $\lambda \in [0,1]$ : $\lambda (a+b)=f$...
Wa fawqa koulli dhî 'ilmin 'alîm. [Traduction :Dans toute science ,il y a un savant au dessus de tout savant]
Jabir MOUHSINI.
je vous remercie pour toutes vos reponses mais ma question concerne $(\cos \theta)^{2}$ et non pas $ cos(\theta^{2})$. Donc je crois que gerard a raison donc si je omprends bien il faut que mon f s'annulle pour avoir des soultions?
merci d'avance
Je vais reformuler ma question :
soit l'equation
$(\alpha (\cos\theta)^{2}+g(\theta)) a+(\alpha (\sin\theta)^{2}+l(\theta))b+constante=f(\theta)$
où \alpha est une constante, $g ,l , f $ sont des fonctions connues dependants de $\theta$ et a et b sont mes inconnues.
Est-ce possible de trouver a et b en donnant deux valeurs particulieres à $\theta$ (l'equation ci-dessus etant vraie pour tout $\theta$)?
Merci et désolé pour tout derangement
La réponse à ta question est oui, puisque tu sais que l'égalité est vérifiée dans tous les cas. Tous les cas, ça veut dire aussi 2 cas (et d'autres). Il y a cependant toujours le risque de choisir 2 valeurs qui donnent des équations proportionnelles (dans ce cas, on en chserche une troisième qui convient) et, exceptionnellement, il pourrait arriver que les coefficients de a et b soient toujours proportionnels, auquel cas a et b ne sont pas uniques.
Cordialement
Merci d'avance
Il se peut que l'équation n'ait pas de solution !
En choisissant 2 valeurs de $\theta$, il se peut que tu n'obtiennes que 2 valeurs possibles pour $a$ et $b$... mais il faut encore vérifier qu'elle sont effectivement solutions, c'est-à-dire qu'elles marchent pour toute valeur de $\theta$.
Si tu ne le vérifies pas, il est possible (si l'équation n'a pas de solution) que tu trouves un autre couple de valeurs pour $a$ et $b$ en prenant d'autres valeurs de $\theta$.
En revanche, si tu es sûr de l'existence d'une solution, alors, tu n'as plus besoin de vérifier et la solution trouvée sera la seule.
Enfin, une autre méthode pour trouver $a$ et $b$ serait d'utiliser la liberté des fonctions $\cos$ et $\sin$... mais ça revient au même.
Merci de nouveau
Cela signifie que les deux fonctions ne sont pas proportionnelles et cela se traduit par : a*cos+b*sin=0 (avec a et b des constantes et cos et sin en tant que fonction) implique a=b=0.