théorème d'approximation de Dirichlet

adrien1 · May 2006

Bonjour, voici le théorème d'approximation de Dirichlet :

Etant donnés un réel a et un entier naturel N, il existe des entiers naturels h et k où 0<k=<N tels que : |k*a-h|<1/N

L'énoncé est tiré de:
<http://mathworld.wolfram.com/DirichletsApproximationTheorem.html>
Connaissez-vous une preuve simple de ce théorème?
Merci

brux0 · May 2006

Il suffit de regarder les parties fractionnaires des nombres $ka$. Il en y a deux, disons $na $ et $n'a$ dont l'écart est inférieur à 1/N par le principe des tiroirs.

$na-n'a = [ka]-[k'a]+\{na\}-\{n'a\}$ et le tour est joué avec $h=n-n'$ et $h= [ka]-[k'a]$.

brux

brux0 · May 2006

j'ai noté $\{.\}$ la partie fractionnaire.

brux

Inconnu · May 2006

C'est quoi le principe des tiroirs ? je connaisais le théoreme des gendarmes, mais des tiroirs .... ?

Inconnu · May 2006

alors ?
le principe des tiroirs ?

Bruno · May 2006

Bonsoir q.

Principe des tiroirs : quand $n$ tiroirs contiennent $n + 1$ chaussettes, l'un de ces tiroirs contient deux chaussettes (au moins).

Bruno

Aleg · May 2006

soit <IMG WIDTH="71" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/18/88012/cv/img1.png" ALT="$ 0<p<n$"> des entiers : si <IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/18/88012/cv/img2.png" ALT="$ n$"> objets sont rangés dans <IMG WIDTH="11" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/18/88012/cv/img3.png" ALT="$ p$"> tiroirs, alors il y a (au moins) un tiroir qui contient (au moins) deux de ces objets.

Inconnu · May 2006

OK, merci Bruno.

Inconnu · May 2006

Aleg, merci aussi.

théorème d'approximation de Dirichlet

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