Polynôme à coeffs dans un anneau intègre

Zantac · May 2006

Salut,

je voulais poser une petite question, je ne comprends pas une preuve. On demande de montrer que si $A$ est un anneau intègre, alors tout polynôme $P(X)$ de $A[X]$ possède au plus $n$ racines distinctes dans $A$.

Voilà la solution : Soit $K$ le corps des fractions de $A$, alors $P$ admet au plus $n$ racines dans $K$ donc a fortiori dans $A$.

Le problème, c'est que j'ai trouvé une autre façon de faire, mais que je comprends absolument pas celle-ci...

Si qqn pouvait m'expliquer, je lui en serais reconnaissant.

Denis

josé · May 2006

La solution se sert d'un autre theoreme qui dit que sur un corps un polynome de degre n admet au plus n racines. Avec ce theoreme c'est facil, il suffit de plonger l'anneau dans son corps de fraction via l'injection canonique. Il ne peut donc pas y avoir plus de racine dans l'anneau $A$ que dans son corps de fraction. C'est bien ce que tu voulais savoir ?

ryo · May 2006

Je suppose que dans ton enonce tu suppose $P$ de degre $n$?

Dans ce cas une recurrence sur le degre de n montre ca sans passer par un autre theoreme : on utilise juste que si $a$ est racine de $P$ alors $X-a$ divise $P$ pour montrer l'heredite

Zantac · May 2006

Oui ryo je faisais comme toi. Merci josé je ne pensais pas qu'il oserait utiliser un autre théorème pour montrer un truc somme toute assez facile...

Mikaël2 · May 2006

Bonsoir

Il me semble que l'intégrité sert pour effectuer la division euclidienne par X-a polynôme unitaire et surtout pour l'unicité d'une telle division, ainsi si a est racine de P, le reste est nul et on est ramené à un polynôme de degré n-1

Polynôme à coeffs dans un anneau intègre

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