élément maximal
Bonsoir
j'ai un problème de compréhension sur un théorème donné dans "Théorie algébrique des nombres" de P.Samuel
Théorème
Soient A, un anneau [unitaire], M un A-Module. Les conditions suivantes sont équivalentes
a) Toute famille de sous-modules de de M possède un élément maximal (pour la relation d'inclusion)
b) Toute suite croissante Mn, n>=0 (pour la relation d'inclusion) de sous modules est stationnaire (constante à partir d'un certain rang)
c) Tous sous-module de M est de type fini
a) => c) ok
c) => b) ok
Puis je décroche pour b) => a), l'auteur énonce a) <=> b) est un cas particulier d'un Lemme
Lemme
Soit T un ensemble ordonné. Les conditions suivantes sont équivalentes
a) Toute famille non vide d'éléments de T admet un élément maximal
b) Toute suite croissante tn, n>=0 d'élèments de T est stationnaire
Je comprends le lemme si T est totalement ordonné et qu'alors b) => a) du théorème. Ce qui me semble pas le cas des sous modules, donc pas bien comprendre où j'ai loupé la marche.
Plus brièvement peut-être et ça expliquerait, un élément maximal peut-il être hors de la famille (une espèce de borne supérieure dans le cas de R)?
vous remerciant des précisions, indications que vous pourrez m'apporter (dans l'édition que j'ai c'est à la page 25)
aimablement,
S
j'ai un problème de compréhension sur un théorème donné dans "Théorie algébrique des nombres" de P.Samuel
Théorème
Soient A, un anneau [unitaire], M un A-Module. Les conditions suivantes sont équivalentes
a) Toute famille de sous-modules de de M possède un élément maximal (pour la relation d'inclusion)
b) Toute suite croissante Mn, n>=0 (pour la relation d'inclusion) de sous modules est stationnaire (constante à partir d'un certain rang)
c) Tous sous-module de M est de type fini
a) => c) ok
c) => b) ok
Puis je décroche pour b) => a), l'auteur énonce a) <=> b) est un cas particulier d'un Lemme
Lemme
Soit T un ensemble ordonné. Les conditions suivantes sont équivalentes
a) Toute famille non vide d'éléments de T admet un élément maximal
b) Toute suite croissante tn, n>=0 d'élèments de T est stationnaire
Je comprends le lemme si T est totalement ordonné et qu'alors b) => a) du théorème. Ce qui me semble pas le cas des sous modules, donc pas bien comprendre où j'ai loupé la marche.
Plus brièvement peut-être et ça expliquerait, un élément maximal peut-il être hors de la famille (une espèce de borne supérieure dans le cas de R)?
vous remerciant des précisions, indications que vous pourrez m'apporter (dans l'édition que j'ai c'est à la page 25)
aimablement,
S
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Réponses
1. Dans l'ensemble en question.
2. Pas forcément 'comparable' à tous les éléments de l'ensemble.
<http://fr.wikipedia.org/wiki/Élément_maximal>
L'idée est simple en fait. Si tu considères qu'il n'y a pas de maximal, tu peux initier une récurence en construisant une suite croissante non stationnaire.
En effet. Tu prends un élément quelconque de ton ensemble. Ce n'est pas l'élément maximal car il n'existe pas (par hypothèse). C'est donc qu'il existe un élément qui lui est supérieur. On construit alors un ensemble contenant ces deux éléments. Ensuite, le deuxième élément n'est pas non plus maximal, c'est donc qu'il existe un troisième éléments qui lui est supérieur etc... etc...
Si l'on remplace A-Module par R-R², les sous espaces vectoriels sont de type fini.
Soit {D,D'} avec D<>D' deux droites vectorielles, me donner un élément maximal m'aidera sans doute
S
S